Kalkulator macierzy odwrotnej 3×3

  Dwa sposoby odwrócenia macierzy 3×3

Macierz 3×3 ma odwrotną dokładnie wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Są dwa standardowe sposoby, by ją znaleźć.

Metoda macierzy dołączonej używa wzoru A⁻¹ = adj(A) / det(A). Obliczasz dziewięć dopełnień algebraicznych, każde to wyznacznik 2×2 ze znakiem, układasz je w macierz, transponujesz ją, by dostać macierz dołączoną, i dzielisz przez wyznacznik.

Eliminacja Gaussa-Jordana dopisuje macierz jednostkową z prawej strony A i wykonuje operacje na wierszach całego bloku 3×6, aż lewa połowa stanie się macierzą jednostkową. Prawa połowa jest wtedy macierzą odwrotną. Tej metody kalkulator używa domyślnie.

  Rozwiązany przykład metodą macierzy dołączonej

Weźmy macierz o wierszach (1, 2, 3), (0, 1, 4) i (5, 6, 0).

Wyznacznik, rozwinięcie względem pierwszego wiersza: 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = −24 + 40 − 15 = 1.

Dopełnienia pierwszego wiersza: C₁₁ = 1·0 − 4·6 = −24, C₁₂ = −(0·0 − 4·5) = 20, C₁₃ = 0·6 − 1·5 = −5. Pozostałe sześć liczymy tak samo: C₂₁ = 18, C₂₂ = −15, C₂₃ = 4, C₃₁ = 5, C₃₂ = −4, C₃₃ = 1.

Transpozycja macierzy dopełnień wstawia dopełnienia każdego wiersza do kolumny. Ponieważ wyznacznik wynosi 1, macierz dołączona jest już macierzą odwrotną: jej wiersze to (−24, 18, 5), (20, −15, −4) i (−5, 4, 1).

Sprawdźmy jeden element: pierwszy wiersz A razy pierwsza kolumna odwrotnej to 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = 1, tak jak powinno być.

  Którą metodę wybrać

Na kartce metodę macierzy dołączonej łatwiej utrzymać w porządku dla jednej macierzy 3×3 o małych liczbach całkowitych i jest to jedyny praktyczny wybór, gdy elementy są zmiennymi. Eliminacja Gaussa-Jordana wymaga mniej arytmetyki i skaluje się do macierzy 4×4 i większych.

Kalkulator powyżej jest ustawiony na 3×3. Wybierz dowolną metodę w menu i porównaj kroki na własnej macierzy.