تجزیه QR ماشین حساب

نظرات راه حل
بدون توضیحات (فقط پاسخ)

a

b

c

d

x

y

z

AC

i

ab
x2
xn

Randomize

فرمت عددی
3131313131351515151515≈52188552198585858586
گرد به
ارقام بعد از ممیز
10
=حل

  نحوه محاسبه تجزیه QR با چرخش‌های گیونز

دنباله‌ای از چرخش‌های صفحه 2×2 را اعمال کنید تا درایه‌های زیر قطر را یکی یکی صفر کنید. هر چرخش گیونز با دو درایه‌ای که بر آن عمل می‌کند تعیین می‌شود. حاصل‌ضرب تجمعی چرخش‌ها Q است و ماتریس چرخش‌شده R است.

  مثال حل‌شده چرخش‌های گیونز (3×3)

ماتریس اولیه
A
را بنویسید:
A
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
تجزیه
QR
نمایشی از ماتریس
A
به صورت:
A
=
Q
*
R
است؛
ماتریس
Q
یک ماتریس نرم‌متعامد (norm-momtayezsaz) است؛
ماتریس
R
یک ماتریس مثلثاتی بالایی (mosalasati balaei) است;
می توانیم از چرخش های گیونز (Givens) برای صفر کردن تمام عناصر زیر قطر اصلی ماتریس
A
استفاده کنیم؛
این روش تکراری است و در یک تکرار یک عنصر را به صفر تبدیل می کنیم؛
در آخرین تکرار، زمانی که تمام عناصر زیر قطر اصلی به صفر تبدیل شوند، ماتریس
R
را بدست خواهیم آورد؛
در حین محاسبه ماتریس
R
در هر تکرار، ماتریس
G
را برای صفر کردن عناصر زیر قطر اصلی محاسبه می کنیم؛
می توانیم ماتریس
Q
را با ضرب تمام ماتریس های منتقل شده
G
محاسبه کنیم؛
عناصر را از بالا به پایین از چپ به راست صفر می کنیم؛
در هر تکرار نیاز به تعریف متغیرهای زیر داریم:
a
عنصر ماتریس Aₖ₋₁ است که در قطر اصلی در همان ستون به عنوان عنصری که می خواهیم آن را به صفر تبدیل کنیم قرار دارد
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
;
b
عنصر ماتریس Aₖ₋₁ است که می خواهیم آن را به صفر تبدیل کنیم
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
;
// که در آن
j
شماره سطر ردیف است که در آن عنصری وجود دارد که می خواهیم آن را به صفر تبدیل کنیم
i
شماره سطر ستون است که در آن عنصری وجود دارد که می خواهیم آن را به صفر تبدیل کنیم
k
شماره تکرار است
Aₖ₋₁
ماتریسی است که در تکرار قبلی محاسبه شده است
در مرحله بعد، باید مقادیر زیر را محاسبه کنیم:
r
=
a
2
0
+
b
2
0
;
c
=
a
r
;
s
= -
b
r
;
اکنون می توانیم ماتریس
G
را بسازیم:
1)
پایه ماتریس G یک ماتریس واحد با اندازه n در n است
// که در آن
n
تعداد سطرهای ماتریس A است
2)
عنصر زیر شاخص [i,i] برابر با c است
g
0
i,i
=
c
;
3)
عنصر زیر شاخص [j,j] برابر با c است
g
0
j,j
=
c
;
4)
عنصر زیر شاخص [j,i] برابر با s است
g
0
j,i
=
s
;
5)
عنصر زیر شاخص [i,j] برابر با -s است
g
0
i,j
=
-s
;
پس از ساخت ماتریس
G
، می توانیم آن را در ماتریس
A
0
k - 1
از سمت چپ ضرب کنیم، و ماتریس
A
0
k
را بدست آوریم؛
در این مرحله، عنصر زیر شاخص
j,i
را صفر می کنیم؛
همچنین ماتریس
Q
0
k - 1
را در ماتریس
G
T
0
ضرب می کنیم و ماتریس
Q
0
k
را بدست می آوریم؛
2
تکرار 1
در اولین تکرار، ماتریس
A
0
0
برابر با ماتریس اصلی
A
است:
A
0
0
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
ماتریس اولیه
Q
0
0
را بنویسید، که برابر با ماتریس واحد است:
Q
0
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
i
=
1
;
j
=
2
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
0
0
1,1
=
1
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
0
0
2,1
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
2
0
+
1
2
0
=
1
517766953
1250000000
;
c
=
a
r
=
1
1
517766953
1250000000
=
1767766953
2500000000
;
s
= -
b
r
= -
1
1
517766953
1250000000
=
-
1767766953
2500000000
;
G
=
c
s
0
-s
c
0
0
0
1
=
1767766953
2500000000
-
1767766953
2500000000
0
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
;
ماتریس
A
0
1
A
0
1
=
G
0
·
A
0
0
=
1767766953
2500000000
-
1767766953
2500000000
0
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
·
1
1
0
1
0
1
0
1
1
=
1
517766953
1250000000
0
0
1767766953
2500000000
-
1767766953
2500000000
1
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
1
ماتریس
G
T
0
G
T
0
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
-
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
ماتریس
Q
0
1
Q
0
1
=
Q
0
0
·
G
T
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
·
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
-
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
-
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
3
تکرار 2
i
=
2
;
j
=
3
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
1
0
2,2
=
-
1767766953
2500000000
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
1
0
3,2
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
-
1767766953
2500000000
2
0
+
1
2
0
=
1
1123724357
5000000000
;
c
=
a
r
=
-
1767766953
2500000000
1
1123724357
5000000000
=
-
1443375673
2500000000
;
s
= -
b
r
= -
1
1
1123724357
5000000000
=
-
8164965809
10000000000
;
G
=
1
0
0
0
c
s
0
-s
c
=
1
0
0
0
-
1443375673
2500000000
-
8164965809
10000000000
0
8164965809
10000000000
-
1443375673
2500000000
;
ماتریس
A
0
2
A
0
2
=
G
0
·
A
0
1
=
1
0
0
0
-
1443375673
2500000000
-
8164965809
10000000000
0
8164965809
10000000000
-
1443375673
2500000000
·
1
517766953
1250000000
0
0
1767766953
2500000000
-
1767766953
2500000000
1
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
1
=
1
517766953
1250000000
0
0
1767766953
2500000000
1
1123724357
5000000000
0
1767766953
2500000000
816496581
2000000000
-1
193375673
1250000000
ماتریس
G
T
0
G
T
0
=
1
0
0
0
-
1443375673
2500000000
8164965809
10000000000
0
-
8164965809
10000000000
-
1443375673
2500000000
ماتریس
Q
0
2
Q
0
2
=
Q
0
1
·
G
T
0
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
-
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
0
0
1
·
1
0
0
0
-
1443375673
2500000000
8164965809
10000000000
0
-
8164965809
10000000000
-
1443375673
2500000000
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
816496581
2000000000
-
816496581
2000000000
8164965809
10000000000
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
4
ماتریس Q, R
Q
=
Q
0
2
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
816496581
2000000000
-
816496581
2000000000
8164965809
10000000000
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
R
=
A
0
2
=
1
517766953
1250000000
0
0
1767766953
2500000000
1
1123724357
5000000000
0
1767766953
2500000000
816496581
2000000000
-1
193375673
1250000000
Answer
A = Q · R
Q
=
1767766953
2500000000
1767766953
2500000000
0
816496581
2000000000
-
816496581
2000000000
8164965809
10000000000
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
-
1443375673
2500000000
R
=
1
517766953
1250000000
0
0
1767766953
2500000000
1
1123724357
5000000000
0
1767766953
2500000000
816496581
2000000000
-1
193375673
1250000000
اندازه3×3روشچرخش گیونز

  روش‌های محاسبه

  منابع

Google PlayApp Store