2×2 역행렬 계산기

  2×2 역행렬 공식

행렬 A의 행이 (a, b)와 (c, d)라고 합시다. 먼저 행렬식 det(A) = a·d − b·c를 계산합니다. 행렬식이 0이면 역행렬이 없습니다. 그렇지 않으면

A⁻¹ = 1/(a·d − b·c) · [ d −b ; −c a ]

말로 하면, 주대각선의 두 성분을 서로 바꾸고, 나머지 두 성분의 부호를 바꾼 뒤, 전체를 행렬식으로 나눕니다. 자리를 바꾸고 부호를 바꾼 행렬이 A의 수반 행렬이므로, 이는 일반 공식 A⁻¹ = adj(A) / det(A)의 가장 작은 경우입니다.

  예제 풀이

행이 (4, 7)과 (2, 6)인 행렬을 봅시다. 행렬식은 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10으로 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다.

4와 6을 바꾸고 7과 2의 부호를 바꿉니다. 그러면 행이 (6, −7)과 (−2, 4)가 됩니다. 10으로 나누면 역행렬의 행은 (3/5, −7/10)과 (−1/5, 2/5)입니다.

곱해서 확인합니다. A의 첫째 행과 역행렬의 첫째 열을 곱하면 4·(3/5) + 7·(−1/5) = 12/5 − 7/5 = 1이고, 첫째 행과 둘째 열을 곱하면 4·(−7/10) + 7·(2/5) = −14/5 + 14/5 = 0입니다. 둘째 행도 같은 식으로 0과 1이 나오므로 곱은 단위행렬입니다.

  2×2 행렬에 역행렬이 없는 경우

공식은 a·d − b·c로 나누므로 행렬식이 0일 때 정확히 무너집니다. 행이 (2, 4)와 (1, 2)처럼 한 행이 다른 행의 배수일 때 그렇습니다. 이런 행렬을 특이 행렬이라 하며, 이를 계수 행렬로 갖는 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많습니다.

위 계산기는 2×2로 설정되어 있습니다. 반올림 대신 분수를 정확히 유지하므로 3/5는 3/5로 남으며, 복소수와 변수도 받습니다.