3×3 역행렬 계산기

  3×3 행렬의 역행렬을 구하는 두 가지 방법

3×3 행렬은 행렬식이 0이 아닐 때 정확히 역행렬을 가집니다. 구하는 표준 방법은 두 가지입니다.

수반 행렬 방법은 공식 A⁻¹ = adj(A) / det(A)를 씁니다. 부호가 붙은 2×2 행렬식인 여인수 아홉 개를 계산해 행렬로 배열하고, 전치해서 수반 행렬을 만든 뒤 행렬식으로 나눕니다.

가우스-조르당 소거법은 A의 오른쪽에 단위행렬을 붙이고 3×6 블록 전체에 행 연산을 적용해 왼쪽 절반이 단위행렬이 되게 합니다. 그때 오른쪽 절반이 역행렬입니다. 계산기가 기본으로 쓰는 방법입니다.

  수반 행렬 방법 예제 풀이

행이 (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0)인 행렬을 봅시다.

첫째 행에 대해 전개한 행렬식: 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = −24 + 40 − 15 = 1.

첫째 행의 여인수: C₁₁ = 1·0 − 4·6 = −24, C₁₂ = −(0·0 − 4·5) = 20, C₁₃ = 0·6 − 1·5 = −5. 나머지 여섯 개도 같은 방법으로 구합니다: C₂₁ = 18, C₂₂ = −15, C₂₃ = 4, C₃₁ = 5, C₃₂ = −4, C₃₃ = 1.

여인수 행렬을 전치하면 각 행의 여인수가 열로 들어갑니다. 행렬식이 1이므로 수반 행렬이 곧 역행렬입니다. 그 행은 (−24, 18, 5), (20, −15, −4), (−5, 4, 1)입니다.

성분 하나를 확인해 봅시다. A의 첫째 행과 역행렬의 첫째 열을 곱하면 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = 1로 기대한 대로입니다.

  어떤 방법을 고를까

손으로 풀 때 성분이 작은 정수인 3×3 행렬 하나라면 수반 행렬 방법이 정리하기 쉽고, 성분이 변수일 때는 사실상 유일한 선택입니다. 가우스-조르당 소거법은 계산량이 적고 4×4 이상으로 확장되는 방법입니다.

위 계산기는 3×3으로 설정되어 있습니다. 방법 메뉴에서 두 방법 중 하나를 골라 자신의 행렬에서 단계를 비교해 보세요.