Kalkulator wyznacznika 4×4

Rozkład według:
1
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)

a

b

c

d

x

y

z

AC

i

ab
x2
xn

Randomize

Format liczbowy
3131313131351515151515≈52188552198585858586
Zaokrąglij do
Cyfry po przecinku
10
=Rozwiąż

  Jak obliczyć wyznacznik macierzy 4×4

Nie ma krótkiego wzoru na wyznacznik 4×4. W pełnym zapisie ma 24 iloczyny po cztery elementy, więc nikt tak nie liczy. Są dwie praktyczne drogi.

Rozwinięcie Laplace’a wybiera wiersz lub kolumnę i zamienia zadanie na cztery wyznaczniki 3×3, każdy pomnożony przez swój element i znak z szachownicy + − + −. Każde zero w wybranym wierszu usuwa jeden wyznacznik 3×3, więc zawsze rozwijaj względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

Przekształcenia wierszy sprowadzają macierz do postaci górnotrójkątnej. Dodanie wielokrotności jednego wiersza do drugiego nie zmienia wyznacznika, zamiana dwóch wierszy zmienia jego znak, a wyznacznik macierzy trójkątnej to iloczyn elementów przekątnej. Dla macierzy 4×4 to zwykle około jednej trzeciej arytmetyki pełnego rozwinięcia.

  Rozwiązany przykład przekształceniami wierszy

Weźmy macierz o wierszach (2, 1, 0, 1), (4, 3, 1, 2), (0, 2, 3, 1) i (2, 1, 1, 4).

Zerujemy pierwszą kolumnę. Wiersz 2 minus 2 razy wiersz 1 daje (0, 1, 1, 0). Wiersz 4 minus wiersz 1 daje (0, 0, 1, 3). Wiersz 3 już zaczyna się od zera.

Zerujemy drugą kolumnę. Wiersz 3 minus 2 razy nowy wiersz 2 daje (0, 0, 1, 1). Potem trzecia kolumna: wiersz 4 minus wiersz 3 daje (0, 0, 0, 2).

Macierz jest teraz górnotrójkątna z przekątną 2, 1, 1, 2. Nie zamienialiśmy wierszy, więc det(A) = 2·1·1·2 = 4.

  Sprawdzenie wyniku

Obie drogi muszą dać tę samą liczbę, więc jedna jest sprawdzeniem drugiej. Kalkulator powyżej jest ustawiony na 4×4 i domyślnie rozwija względem wiersza lub kolumny, pokazując każdy minor 3×3. Przełącz metodę na postać trójkątną, by zobaczyć przekształcenia wierszy, albo na algorytm Bareissa — eliminację bez ułamków, która macierze całkowitoliczbowe trzyma w liczbach całkowitych.

  Wyznacznik 4×4 rozwinięciem Laplace’a

Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
Aby znaleźć wyznacznik macierzy
A
, należy wykonać następujące czynności:
1)
Znajdź minory dla każdego elementu 1-tej wiersz macierzy A;
2)
Pomnóż każdy element 1-tej wiersz macierzy A przez odpowiadający mu minor;
3)
Iloczyn elementu w jego minorze należy przyjąć ze znakiem minus lub plus, zależy to od indeksów elementu:
jeśli i + j jest równe liczbie parzystej, to przyjmij znak plus;
jeśli i + j nie jest równe liczbie parzystej, to przyjmij znak minus;
4)
Dodaj wszystkie iloczyny elementu w odpowiednim minorze, uwzględniając prawidłowo przyjęty znak;
det(
A
) =
n
j
= 1
(-1)
i+j
·
a
0
i,j
·
M
0
i,j
// gdzie
i
to numer wiersza
j
to numer kolumny
2
M1,1
M
0
1,1
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
1
3
0
4
1
2
0
2
1
=
-15
;
3
M1,2
M
0
1,2
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
4
1
2
0
2
1
=
2
;
4
M1,3
M
0
1,3
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
1
3
0
0
2
1
=
8
;
5
M1,4
M
0
1,4
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
1
3
0
4
1
2
=
1
;
6
Wyznacznik macierzy
det(
A
) =
(
1
*
1
*
-15
)
+
(
-1
*
2
*
2
)
+
(
1
*
0
*
8
)
+
(
-1
*
3
*
1
)
=
-22
;
Answer
det(A)
det(
A
) =
-22
;
Rozmiar4×4MetodaRozkład

  Metody obliczeń

  Kalkulatory według rozmiaru i metody

  Źródła

Google PlayApp Store