4×4 행렬식 계산기

  4×4 행렬의 행렬식 구하는 법

4×4 행렬식에는 짧은 공식이 없습니다. 완전히 펼쳐 쓰면 성분 네 개짜리 곱이 24개나 되므로 아무도 그렇게 계산하지 않습니다. 실용적인 방법은 두 가지입니다.

여인수 전개는 한 행이나 열을 골라 문제를 네 개의 3×3 행렬식으로 바꿉니다. 각각에 해당 성분과 체스판 무늬 + − + −의 부호를 곱합니다. 고른 행의 0 하나마다 3×3 행렬식 하나가 사라지므로, 항상 0이 가장 많은 행이나 열에 대해 전개하세요.

행 소거는 행렬을 상삼각 행렬로 바꿉니다. 한 행의 배수를 다른 행에 더해도 행렬식은 변하지 않고, 두 행을 바꾸면 부호가 바뀌며, 삼각 행렬의 행렬식은 대각 성분의 곱입니다. 4×4 행렬에서는 보통 전체 전개의 약 3분의 1 정도의 계산만 필요합니다.

  행 소거 예제 풀이

행이 (2, 1, 0, 1), (4, 3, 1, 2), (0, 2, 3, 1), (2, 1, 1, 4)인 행렬을 봅시다.

첫째 열을 지웁니다. 2행에서 1행의 2배를 빼면 (0, 1, 1, 0)입니다. 4행에서 1행을 빼면 (0, 0, 1, 3)입니다. 3행은 이미 0으로 시작합니다.

둘째 열을 지웁니다. 3행에서 새 2행의 2배를 빼면 (0, 0, 1, 1)입니다. 이어서 셋째 열: 4행에서 3행을 빼면 (0, 0, 0, 2)입니다.

이제 대각 성분이 2, 1, 1, 2인 상삼각 행렬입니다. 행을 바꾼 적이 없으므로 det(A) = 2·1·1·2 = 4입니다.

  답 확인하기

두 방법은 같은 수를 내야 하므로 서로의 검산이 됩니다. 위 계산기는 4×4로 설정되어 있고 기본으로 행 또는 열에 대해 전개하며 각 3×3 소행렬식을 보여줍니다. 방법을 삼각 행렬 변환으로 바꾸면 행 소거 과정을, 바레이스로 바꾸면 정수 행렬을 정수로 유지하는 분수 없는 소거를 볼 수 있습니다.