Özdeğerler hesap makinesi

Sayı biçimi
Çözüm yorumları
Açıklama olmadan (yalnızca cevap)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  Matris özdeğerleri hesaplayıcısı hakkında

Bu, ücretsiz bir çevrimiçi matris özdeğerleri hesaplayıcısıdır tamsayılar, kesirler, karmaşık sayılar, değişkenler gibi matris elemanları ile 99x99 boyutuna kadar matrislerle işlemler yapan, çözümlerin eksiksiz, ayrıntılı, adım adım açıklamasını içeren bir hesap makinesi.

Hesaplamaya başlamak için, önce ekranın en üstünde bulunan giriş alanına matrisin boyutunu girmeniz gerekir, ayrıca burada istediğiniz hesaplama yöntemini seçebilirsiniz.

Biraz aşağıda, matris elemanlarını klavyeyi kullanarak girmeniz gereken bir matris penceresi bulacaksınız. Matrislerle çalışmayı kolaylaştıran ve aşağıdaki kontrol öğelerini içeren matris kontrol paneli de burada bulunur:

  • İlk öğe, matris penceresini genişletmenize olanak tanır. Bu, özellikle tamamen sığmayan çok büyük matrislerle hesaplamalar yapmanız gereken durumlarda kullanışlı olabilir. Pencereyi genişlettikten sonra matris hala görünmüyorsa, + / - düğmelerini kullanarak matrisin ölçeğini değiştirebilirsiniz;
  • İkinci öğe, matris girişinin bellek arabelleğe kopyalanması işlevini gerçekleştirir. Bu, hesaplamalar için sıklıkla aynı matrisi kullandığınız durumlarda veya matrisleri işlemler arasında taşımanız gerektiğinde yararlı olabilir;
  • Ve son öğe, önceden kopyalanan matrisi ekler, bu da matrisi manuel olarak yapmak yerine yalnızca birkaç tıklamayla girme sürecini hızlandırmanıza olanak tanır;

Ve daha da aşağıda, hesap makinesini özelleştirmenize ve onunla çalışmayı kolaylaştırmanıza olanak tanıyan bir araç çubuğu bulacaksınız. Görsel olarak üç bölüme ayrılmıştır ve her biri aşağıdaki işlevlerden sorumludur:

  • İlki, çözüm sonucu görüntülendiğinde sayı biçimini seçmenize olanak tanır. Ayrıca, bu sorunun nasıl çözüleceğini zaten anladıysanız ve hesap makinesini kendi hesaplamalarınızı hızlandırmak veya kontrol etmek için kullanıyorsanız, sorunun çözümüne yönelik yorumları burada kapatabilirsiniz. Veya yalnızca çözümün sonucuna ihtiyacınız varsa, adım adım çözümü tamamen kapatabilirsiniz;
  • İkincisi, matris giriş alanının türünü değiştirmenize, öğelerini veya tüm matrisi silmenize olanak tanıyan düğmeler ve sizi sorunun çözümünü içeren ekrana götürecek eşit işaretli en büyük düğme içerir. Tüm bu düğmeler klavyedeki tuşlarla çoğaltılır. Klavyede hangi tuşa basılacağını öğrenmek için, düğmelerden birinin üzerine gelin ve tuşun adını içeren bir araç ipucu görünecektir. Matris giriş alanları arasında hareket etmek için klavyenizdeki ok tuşlarını da kullanabilirsiniz;
  • Ve sonuncusu, tamsayı olmayan sayıları yuvarlamak için ondalık noktadan sonra basamak sayısını seçmenize olanak tanır. Ayrıca, burada yuvarlatılmış kesirlerin nasıl görüneceğine dair hemen bir örnek görebilirsiniz;

  Matrisin özdeğerleri nedir?

Özdeğerler tanımı, özvektörlerle yakından ilişkilidir. Özvektörler, yönleri doğrusal dönüşüm tarafından değiştirilmeyen, ancak sabit bir faktörle ölçeklenen vektörlerdir ve bu sabit faktör, doğrusal dönüşüm sırasında özvektörlerin ölçeklendiği özdeğerdir.

  Bir matrisin özdeğerleri nasıl bulunur?

Öncelikle verilen matrisin karakteristik denklemini bulup çözmemiz gerekiyor. Verilen bir matrisin karakteristik denkleminin kökleri de bu matrisin özdeğerleridir. Yalnızca kare matrislerin özdeğerleri hesaplanabilir.

  Bir matrisin özdeğerlerini bulma örneği

Başlangıç matrisini
A
yazın:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
A
matrisinin özdeğerlerini bulmak için şunları yapmak gerekir:
1)
A matrisinin karakteristik denklemini bulun, bunun için şunları yapmak gerekir:
A matrisinin ana köşegenindeki tüm elemanlardan λ çıkarılarak yeni bir matris(A - λI) oluşturun;
A - λI matrisinin determinantını bulun;
A - λI matrisinin determinantını sıfıra eşitleyin;
2)
A matrisinin karakteristik denklemini çözün;
3)
A matrisinin karakteristik denkleminin kökleri aynı zamanda özdeğerleridir;
2
Form A − λ·I
A - λI
matrisini oluşturun:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
Şimdi bu matrisin determinantını bulmak gerekiyor;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)
det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
Karakteristik denklem
A - λI
matrisinin şu determinantını bulduk:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
Bu determinantı sıfıra eşitleyin ve
A
matrisinin karakteristik denklemini elde edin:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Şimdi bu denklemi çözebiliriz ve kökleri bize
A
matrisinin özdeğerlerini verecektir;
5
Karakteristik denklemin çözümü
Kökleri bulunması gereken başlangıç denklemini yazın:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Denkleme baktığımızda bilinmeyenin en yüksek derecesi
4
'dır, bu da şu türden bir denkleme sahip olduğumuz anlamına gelir:
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
// burada
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
Bu denklemi çözmek için, başlangıç denklemini indirgenmiş dördüncü dereceden bir forma dönüştüren Ferrari yöntemini kullanabiliriz;
λ
3
0
çıkarılmış olan indirgenmiş dördüncü dereceden form şu forma sahiptir:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
// burada
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
Ayrıca,
a
eşit değilse
1
'e, denklemi indirgenmiş dördüncü dereceden bir forma dönüştürmeden önce, denklemin tüm katsayılarını
a
'ye bölmek ve ondan önce
a
ve
b
değerlerini
aOrigin
ve
bOrigin
değişkenlerinde saklamak gerekir, çünkü daha sonra denklemi çözmek için bu değerlere ihtiyacımız olacak:
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
Daha sonra, Ferrari yöntemine göre, indirgenmiş dördüncü dereceden bir formun denklemine eşdeğer aşağıdaki kübik denklemi bulmak gerekir:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
// burada
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
Şimdi ortaya çıkan kübik denklemi, örneğin Cardano yöntemiyle çözmek gerekir;
// burada
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
kübik denklemin kökleri;
Son olarak, başlangıç denkleminin köklerini
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
bulabiliriz:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
// burada
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
Bu,
y
0
1
> 0
ve
y
0
3
> 0
için genel bir formülüdür, formülün özel durumları aşağıda açıklanmıştır;
6
Formülün özel durumları
y
0
1
> 0
ve
y
0
2
= 0
ve
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
ve
y
0
2
> 0
ve
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
ve
y
0
2
> 0
ve
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Aşağıdaki durumlarda denklem reel olmayan, cisimsel eşlenik köklere sahip olacaktır;
y
0
2
ve
,
y
0
3
kompleks sayılarsa veya
y
0
2
< 0
ve
y
0
3
< 0
:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
ve
y
0
2
< 0
ve
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Her durum için:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
İndirgenmiş dördüncü dereceden form
Her katsayıyı a'ya bölün:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
Şimdi indirgenmiş dördüncü dereceden formun denkleminin katsayılarını bulabiliriz:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
İndirgenmiş dördüncü dereceden form
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
Kübik denklem
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
Kübik denklem
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
Bu denklemi Cardano yöntemiyle çözün:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
Kökler
P
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0
λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
Boyut4×4

  İlgili hesaplayıcılar

  Kaynaklar

Google PlayApp Store