Çözüm yorumları
Açıklama olmadan (yalnızca cevap)
a
b
c
d
x
y
z
AC
i
Randomize
Sayı biçimi
3131313131351515151515≈52188552198585858586
Yuvarla
Ondalık noktadan sonraki basamaklar
10
Matris özdeğerleri hesaplayıcısı hakkında
Bu, ücretsiz bir çevrimiçi matris özdeğerleri hesaplayıcısıdır tamsayılar, kesirler, karmaşık sayılar, değişkenler gibi matris elemanları ile 20x20 boyutuna kadar matrislerle işlemler yapan, çözümlerin eksiksiz, ayrıntılı, adım adım açıklamasını içeren bir hesap makinesi.
Hesaplamaya başlamak için, önce ekranın en üstünde bulunan giriş alanına matrisin boyutunu girmeniz gerekir, ayrıca burada istediğiniz hesaplama yöntemini seçebilirsiniz.
Biraz aşağıda, matris elemanlarını klavyeyi kullanarak girmeniz gereken bir matris penceresi bulacaksınız. Matrislerle çalışmayı kolaylaştıran ve aşağıdaki kontrol öğelerini içeren matris kontrol paneli de burada bulunur:
- İlk öğe, matris penceresini genişletmenize olanak tanır. Bu, özellikle tamamen sığmayan çok büyük matrislerle hesaplamalar yapmanız gereken durumlarda kullanışlı olabilir. Pencereyi genişlettikten sonra matris hala görünmüyorsa, + / - düğmelerini kullanarak matrisin ölçeğini değiştirebilirsiniz;
- İkinci öğe, matris girişinin bellek arabelleğe kopyalanması işlevini gerçekleştirir. Bu, hesaplamalar için sıklıkla aynı matrisi kullandığınız durumlarda veya matrisleri işlemler arasında taşımanız gerektiğinde yararlı olabilir;
- Ve son öğe, önceden kopyalanan matrisi ekler, bu da matrisi manuel olarak yapmak yerine yalnızca birkaç tıklamayla girme sürecini hızlandırmanıza olanak tanır;
Ve daha da aşağıda, hesap makinesini özelleştirmenize ve onunla çalışmayı kolaylaştırmanıza olanak tanıyan bir araç çubuğu bulacaksınız. Görsel olarak üç bölüme ayrılmıştır ve her biri aşağıdaki işlevlerden sorumludur:
- İlki, çözüm sonucu görüntülendiğinde sayı biçimini seçmenize olanak tanır. Ayrıca, bu sorunun nasıl çözüleceğini zaten anladıysanız ve hesap makinesini kendi hesaplamalarınızı hızlandırmak veya kontrol etmek için kullanıyorsanız, sorunun çözümüne yönelik yorumları burada kapatabilirsiniz. Veya yalnızca çözümün sonucuna ihtiyacınız varsa, adım adım çözümü tamamen kapatabilirsiniz;
- İkincisi, matris giriş alanının türünü değiştirmenize, öğelerini veya tüm matrisi silmenize olanak tanıyan düğmeler ve sizi sorunun çözümünü içeren ekrana götürecek eşit işaretli en büyük düğme içerir. Tüm bu düğmeler klavyedeki tuşlarla çoğaltılır. Klavyede hangi tuşa basılacağını öğrenmek için, düğmelerden birinin üzerine gelin ve tuşun adını içeren bir araç ipucu görünecektir. Matris giriş alanları arasında hareket etmek için klavyenizdeki ok tuşlarını da kullanabilirsiniz;
- Ve sonuncusu, tamsayı olmayan sayıları yuvarlamak için ondalık noktadan sonra basamak sayısını seçmenize olanak tanır. Ayrıca, burada yuvarlatılmış kesirlerin nasıl görüneceğine dair hemen bir örnek görebilirsiniz;
Matrisin özdeğerleri nedir?
Özdeğerler tanımı, özvektörlerle yakından ilişkilidir. Özvektörler, yönleri doğrusal dönüşüm tarafından değiştirilmeyen, ancak sabit bir faktörle ölçeklenen vektörlerdir ve bu sabit faktör, doğrusal dönüşüm sırasında özvektörlerin ölçeklendiği özdeğerdir.
Bir matrisin özdeğerleri nasıl bulunur?
Öncelikle verilen matrisin karakteristik denklemini bulup çözmemiz gerekiyor. Verilen bir matrisin karakteristik denkleminin kökleri de bu matrisin özdeğerleridir. Yalnızca kare matrislerin özdeğerleri hesaplanabilir.
Bir matrisin özdeğerlerini bulma örneği
Başlangıç matrisini
A
yazın:
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
A
matrisinin özdeğerlerini bulmak için şunları yapmak gerekir:
1)
A matrisinin karakteristik denklemini bulun, bunun için şunları yapmak gerekir: A matrisinin ana köşegenindeki tüm elemanlardan λ çıkarılarak yeni bir matris(A - λI) oluşturun;
A - λI matrisinin determinantını bulun;
A - λI matrisinin determinantını sıfıra eşitleyin;
2)
A matrisinin karakteristik denklemini çözün;3)
A matrisinin karakteristik denkleminin kökleri aynı zamanda özdeğerleridir;2
Form A − λ·IA - λI
matrisini oluşturun:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
-
λ
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
Şimdi bu matrisin determinantını bulmak gerekiyor;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
=
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
4
Karakteristik denklemA - λI
matrisinin şu determinantını bulduk:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
Bu determinantı sıfıra eşitleyin ve
A
matrisinin karakteristik denklemini elde edin:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Şimdi bu denklemi çözebiliriz ve kökleri bize
A
matrisinin özdeğerlerini verecektir;
5
Karakteristik denklemin çözümüKökleri bulunması gereken başlangıç denklemini yazın:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Denkleme baktığımızda bilinmeyenin en yüksek derecesi
3
'dır, bu da şu türden bir denkleme sahip olduğumuz anlamına gelir:
aλ
3
0
+
bλ
2
0
+
cλ
+
d
= 0;
a
=
-1
;
b
=
87
;
c
=
-1109
;
d
=
2496
;
Bu denklemi çözmek için, başlangıç denklemini indirgenmiş kübik forma dönüştüren Cardano yöntemini kullanabiliriz;
λ
2
0
çıkarılmış olan indirgenmiş kübik form şu forma sahiptir:
t
3
0
+
pt
+
q
= 0;
t
=
x
+
b
3
a
;
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abs
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
;
Başlangıç denkleminin kökleri
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
, indirgenmiş denklemin kökleri
t
0
1
,
t
0
2
,
t
0
3
ile şu ilişkilerle bağlantılıdır:
λ
0
i
=
t
0
i
-
b
3
a
, for
i
= 1, 2, 3;
Denklemin köklerini bulmak için önce indirgenmiş denklemin diskriminantını bulmanız gerekir:
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
;
Sonrasında üç durumumuz olabilir:
6
Formülün özel durumları1
durumu,
D = 0
ise
Üç tane reel kök vardır, ancak ikinci ve üçüncü kök eşittir:
t
0
1
=
3
q
p
;
t
0
2
=
t
0
3
= -
3
q
2
p
;
2
durumu,
D > 0
ise
Yalnızca bir reel kök ve iki tane reel olmayan, cisimsel eşlenik kök vardır:
t
0
1
=
u
-
s
;
t
0
2
= -
u
-
s
2
+
3
2
(
u
+
s
)
i
;
t
0
3
= -
u
-
s
2
-
3
2
(
u
+
s
)
i
;
Nerede:
u
=
3
-
q
2
-
D
;
s
=
p
3
u
;
3
durumu,
D < 0
ise
Üç tane reel kök vardır, ancak bu kökleri ifade eden formüller kompleks sayıları içerir. Yine de, çözümlerin tamamen reel ifadeleri trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak elde edilebilir:
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
);
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
);
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
- 2
k
);
Nerede:
u
=
2 *
-
p
3
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
);
k
=
2 *
π
3
;
7
İndirgenmiş kübik formp
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
=
3 *
-1
*
-1
-
87
2
0
3 *
-1
2
0
=
-1414
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abc
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
=
2 *
87
3
0
- 9 *
-1
*
87
*
-1109
+ 27 *
-1
2
0
*
2496
27 *
-1
3
0
=
-19113
;
İndirgenmiş kübik form
:
t
3
0
-1414
t
-19113
= 0;
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
=
-19113
2
0
4
+
-1414
3
0
27
=
-13382416
78703703
100000000
;
8
KöklerD < 0
olduğundan
3
durumuna sahibiz;
Üç tane reel kök vardır, ancak bu kökleri ifade eden formüller kompleks sayıları içerir. Yine de, çözümlerin tamamen reel ifadeleri trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak elde edilebilir:
u
=
2 *
-
p
3
= 2 *
-
-1414
3
=
43
1051063253
2500000000
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
) =
1
3
*
arccos
(
3 *
-19113
-1414
*
43
1051063253
2500000000
)
=
304657271
2500000000
;
k
=
2 *
π
3
=
2 * 3.14
3
=
2
58996939
625000000
;
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
) =
43
1051063253
2500000000
*
cos
(
304657271
2500000000
) =
43
246037753
2500000000
;
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
) =
43
1051063253
2500000000
*
cos
(
304657271
2500000000
-
2
58996939
625000000
) =
-16
978106827
1000000000
;
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
-
2
k
) =
43
1051063253
2500000000
*
cos
(
304657271
2500000000
- 2 *
2
58996939
625000000
) =
-26
601541371
5000000000
;
λ
0
1
=
t
0
1
-
b
3
a
=
43
246037753
2500000000
-
87
3 *
-1
=
72
246037753
2500000000
;
λ
0
2
=
t
0
2
-
b
3
a
=
-16
978106827
1000000000
-
87
3 *
-1
=
12
21893173
1000000000
;
λ
0
3
=
t
0
3
-
b
3
a
=
-26
601541371
5000000000
-
87
3 *
-1
=
2
4398458629
5000000000
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
246037753
2500000000
;
λ
0
2
=
12
21893173
1000000000
;
λ
0
3
=
2
4398458629
5000000000
;
Boyut3×3