Власні значення калькулятор

Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Розв'язати

  Про калькулятор власних значень матриці

Це безкоштовний онлайн-калькулятор власних значень матриці з повним, детальним, покроковим описом розв'язків, що виконує операції з матрицями розміром до 99x99 з елементами матриці таких типів: десяткові числа, дроби, комплексні числа, змінні.

Щоб розпочати розрахунок, потрібно спочатку ввести розмір матриці в поле введення, яке можна знайти у верхній частині екрана, також там можна вибрати бажаний метод розрахунку.

Трохи нижче ви знайдете вікно матриці, в якому потрібно ввести елементи матриці за допомогою клавіатури. Тут також розташована панель керування матрицею, яка спрощує роботу з матрицями та містить такі елементи керування:

  • Перший елемент дозволяє розширити вікно матриці. Це може бути особливо корисно у випадках, коли потрібно виконувати розрахунки з дуже великими матрицями, які не вміщаються повністю. Якщо матриця все ще не видно після розширення вікна, ви можете змінити масштаб матриці за допомогою кнопок + / -;
  • Другий елемент виконує функцію копіювання введеної матриці в буфер пам'яті. Це може бути корисно у випадках, коли ви часто використовуєте одну й ту саму матрицю для розрахунків або якщо вам потрібно переміщати матриці між операціями;
  • А останній елемент вставляє раніше скопійовану матрицю, що дозволяє прискорити процес введення матриці до кількох кліків, замість того, щоб робити це вручну;

А ще нижче ви знайдете панель інструментів, яка дозволяє налаштувати калькулятор і зробити роботу з ним зручнішою. Вона візуально розділена на три частини, кожна з яких відповідає за наступний функціонал:

  • Перша дозволяє вибрати формат чисел при відображенні результату розв'язку. Також тут можна вимкнути коментарі до розв'язку задачі, якщо ви вже зрозуміли, як розв'язати цю задачу, і використовуєте калькулятор для прискорення або перевірки власних розрахунків. Або ви можете повністю вимкнути покроковий розв'язок, якщо вам потрібен лише результат розв'язку;
  • Друга містить кнопки, які дозволяють змінювати тип поля введення матриці, стирати її елементи або всю матрицю, а також найбільша кнопка зі знаком рівності, яка перенесе вас на екран з розв'язком задачі. Усі ці кнопки продубльовані клавішами на клавіатурі. Щоб дізнатися, яку клавішу на клавіатурі натиснути, просто наведіть курсор на одну з кнопок, і з'явиться підказка з назвою клавіші. Ви також можете використовувати клавіші зі стрілками на клавіатурі для переміщення курсору між полями введення матриці;
  • І остання дозволяє вибрати кількість знаків після коми для округлення нецілих чисел. Також тут можна одразу побачити приклад того, як виглядатимуть округлені дроби;

  Що таке власні значення матриці?

Визначення власних значень тісно пов'язане з власними векторами. Власні вектори — це вектори, напрямки яких не змінюються лінійним перетворенням, але масштабуються на постійний коефіцієнт, і цей постійний коефіцієнт, на який масштабуються власні вектори під час лінійного перетворення, є власним значенням.

  Як знайти власні значення матриці?

Спочатку потрібно знайти характеристичне рівняння заданої матриці, а потім розв'язати його. Корені характеристичного рівняння заданої матриці також є власними значеннями цієї матриці. Власні значення можна розрахувати лише для квадратних матриць.

  Приклад знаходження власних значень матриці

Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
Щоб знайти власні значення матриці
A
, потрібно зробити наступне:
1)
Знайти характеристичне рівняння матриці A для цього потрібно зробити таке:
Сформувати нову матрицю(A - λI), віднімаючи λ від усіх елементів головної діагоналі матриці A;
Знайти визначник матриці A - λI;
Прирівняти визначник матриці A - λI до нуля;
2)
Розв'язати характеристичне рівняння матриці A;
3)
Корені характеристичного рівняння матриці A також є її власними значеннями;
2
Form A − λ·I
Сформуємо матрицю
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
-
λ
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
Тепер необхідно знайти визначник цієї матриці;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)
det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
=
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
4
Характеристичне рівняння
Ми знайшли наступний визначник матриці
A - λI
:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
Прирівняємо цей визначник до нуля та отримаємо характеристичне рівняння матриці
A
:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Тепер ми можемо вирішити це рівняння, і його корені дадуть нам власні значення матриці
A
;
5
Розв'язання характеристичного рівняння
Запишемо вихідне рівняння, корені якого необхідно знайти:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Як видно з рівняння, максимальна ступінь змінної дорівнює
3
, а це означає, що ми маємо рівняння наступного виду:
aλ
3
0
+
bλ
2
0
+
cλ
+
d
= 0;
// де
a
=
-1
;
b
=
87
;
c
=
-1109
;
d
=
2496
;
Для вирішення цього рівняння можна використовувати метод Кардано, який передбачає приведення вихідного рівняння до канонічної кубічної форми;
Канонічна кубічна форма означає видалення з рівняння
λ
2
0
і має наступний вигляд:
t
3
0
+
pt
+
q
= 0;
// де
t
=
x
+
b
3
a
;
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abs
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
;
Корені
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
вихідного рівняння пов'язані з коренями
t
0
1
,
t
0
2
,
t
0
3
канонічного рівняння наступним співвідношенням:
λ
0
i
=
t
0
i
-
b
3
a
, for
i
= 1, 2, 3;
Щоб знайти корені рівняння, спочатку потрібно знайти дискримінант канонічного рівняння:
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
;
Після цього у нас може бути три випадки:
6
Окремі випадки формули
Випадок
1
, коли
D = 0
Дійсних коренів три, але другий і третій корені рівні:
t
0
1
=
3
q
p
;
t
0
2
=
t
0
3
= -
3
q
2
p
;
Випадок
2
, коли
D > 0
Існує лише один дійсний корінь і два недійсних комплексно спряжених кореня:
t
0
1
=
u
-
s
;
t
0
2
= -
u
-
s
2
+
3
2
(
u
+
s
)
i
;
t
0
3
= -
u
-
s
2
-
3
2
(
u
+
s
)
i
;
Де:
u
=
3
-
q
2
-
D
;
s
=
p
3
u
;
Випадок
3
, коли
D < 0
Є три дійсних кореня, але формули, що виражають ці корені, включають комплексні числа. Проте чисто дійсні вираження рішень можна отримати за допомогою тригонометричних функцій:
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
);
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
);
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
- 2
k
);
Де:
u
=
2 *
-
p
3
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
);
k
=
2 *
π
3
;
7
Канонічна кубічна форма
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
=
3 *
-1
*
-1
-
87
2
0
3 *
-1
2
0
=
-1414
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abc
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
=
2 *
87
3
0
- 9 *
-1
*
87
*
-1109
+ 27 *
-1
2
0
*
2496
27 *
-1
3
0
=
-19113
;
Канонічна кубічна форма
:
t
3
0
-1414
t
-19113
= 0;
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
=
-19113
2
0
4
+
-1414
3
0
27
=
-13382416
79
100
;
8
Корені
Оскільки
D < 0
маємо випадок
3
;
Є три дійсних кореня, але формули, що виражають ці корені, включають комплексні числа. Проте чисто дійсні вираження рішень можна отримати за допомогою тригонометричних функцій:
u
=
2 *
-
p
3
= 2 *
-
-1414
3
=
43
21
50
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
) =
1
3
*
arccos
(
3 *
-19113
-1414
*
43
21
50
)
=
3
25
;
k
=
2 *
π
3
=
2 * 3.14
3
=
2
9
100
;
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
) =
43
1
10
;
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
-
2
9
100
) =
-16
49
50
;
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
-
2
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
- 2 *
2
9
100
) =
-26
3
25
;
λ
0
1
=
t
0
1
-
b
3
a
=
43
1
10
-
87
3 *
-1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
t
0
2
-
b
3
a
=
-16
49
50
-
87
3 *
-1
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
t
0
3
-
b
3
a
=
-26
3
25
-
87
3 *
-1
=
2
22
25
;
Answer
det(A − λ · I) = 0
λ
0
1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
2
22
25
;
Розмір3×3

  Пов'язані калькулятори

  Джерела

Google PlayApp Store