Сингулярний розклад калькулятор

  Про калькулятор сингулярного розкладу матриці (SVD)

Це безкоштовний онлайн-калькулятор сингулярного розкладу матриці (SVD) з повним, детальним, покроковим описом розв'язків, що виконує операції з матрицями розміром до 99x99 з елементами матриці таких типів: десяткові числа, дроби, комплексні числа, змінні.

Щоб розпочати розрахунок, потрібно спочатку ввести розмір матриці в поле введення, яке можна знайти у верхній частині екрана, також там можна вибрати бажаний метод розрахунку.

Трохи нижче ви знайдете вікно матриці, в якому потрібно ввести елементи матриці за допомогою клавіатури. Тут також розташована панель керування матрицею, яка спрощує роботу з матрицями та містить такі елементи керування:

• Перший елемент дозволяє розширити вікно матриці. Це може бути особливо корисно у випадках, коли потрібно виконувати розрахунки з дуже великими матрицями, які не вміщаються повністю. Якщо матриця все ще не видно після розширення вікна, ви можете змінити масштаб матриці за допомогою кнопок + / -;
• Другий елемент виконує функцію копіювання введеної матриці в буфер пам'яті. Це може бути корисно у випадках, коли ви часто використовуєте одну й ту саму матрицю для розрахунків або якщо вам потрібно переміщати матриці між операціями;
• А останній елемент вставляє раніше скопійовану матрицю, що дозволяє прискорити процес введення матриці до кількох кліків, замість того, щоб робити це вручну;

А ще нижче ви знайдете панель інструментів, яка дозволяє налаштувати калькулятор і зробити роботу з ним зручнішою. Вона візуально розділена на три частини, кожна з яких відповідає за наступний функціонал:

• Перша дозволяє вибрати формат чисел при відображенні результату розв'язку. Також тут можна вимкнути коментарі до розв'язку задачі, якщо ви вже зрозуміли, як розв'язати цю задачу, і використовуєте калькулятор для прискорення або перевірки власних розрахунків. Або ви можете повністю вимкнути покроковий розв'язок, якщо вам потрібен лише результат розв'язку;
• Друга містить кнопки, які дозволяють змінювати тип поля введення матриці, стирати її елементи або всю матрицю, а також найбільша кнопка зі знаком рівності, яка перенесе вас на екран з розв'язком задачі. Усі ці кнопки продубльовані клавішами на клавіатурі. Щоб дізнатися, яку клавішу на клавіатурі натиснути, просто наведіть курсор на одну з кнопок, і з'явиться підказка з назвою клавіші. Ви також можете використовувати клавіші зі стрілками на клавіатурі для переміщення курсору між полями введення матриці;
• І остання дозволяє вибрати кількість знаків після коми для округлення нецілих чисел. Також тут можна одразу побачити приклад того, як виглядатимуть округлені дроби;

  Що таке сингулярний розклад матриці (SVD)?

Сингулярний розклад матриці (SVD) — це факторизація заданої реальної або комплексної матриці на три матриці: одна з яких є n x n комплексною унітарною матрицею, друга матриця — n x m прямокутною діагональною матрицею із сингулярними значеннями (невід'ємними дійсними числами) на діагоналі, а третя матриця — m x m спряженою транспонованою комплексною унітарною матрицею. Добуток n x n унітарної матриці на n x m прямокутну діагональну матрицю та m x m спряжену транспоновану комплексну унітарну матрицю має дати вихідну матрицю.

  Як виконати сингулярний розклад матриці (SVD)?

Потрібно знайти першу ермітову матрицю вихідної матриці, помноживши вихідну матрицю на її транспоновану матрицю. Потім потрібно знайти другу ермітову матрицю вихідної матриці, помноживши транспоновану вихідну матрицю на вихідну матрицю. Після цього потрібно обчислити власні значення та власні вектори першої ермітової матриці. Тепер потрібно обчислити сингулярні значення, взявши квадратний корінь із кожного додатного власного значення першої ермітової матриці. Це дозволить скласти прямокутну діагональну матрицю, розмістивши сингулярні значення на головній діагоналі та заповнивши всі інші елементи матриці нулями. Також на цьому кроці можна знайти n x n комплексну унітарну матрицю шляхом нормалізації власних векторів першої ермітової матриці та розміщення їх як стовпців n x n комплексної унітарної матриці. Після цього потрібно знайти власні вектори другої ермітової матриці, нормалізувати їх та розмістити як стовпці m x m комплексної унітарної матриці. І тепер залишається лише знайти спряжену транспоновану матрицю m x m комплексної унітарної матриці.