LU-розкладання калькулятор

Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Розв'язати

  Про калькулятор LU-розкладу матриці

Це безкоштовний онлайн-калькулятор LU-розкладу матриці з повним, детальним, покроковим описом розв'язків, що виконує операції з матрицями розміром до 99x99 з елементами матриці таких типів: десяткові числа, дроби, комплексні числа, змінні.

Щоб розпочати розрахунок, потрібно спочатку ввести розмір матриці в поле введення, яке можна знайти у верхній частині екрана, також там можна вибрати бажаний метод розрахунку.

Трохи нижче ви знайдете вікно матриці, в якому потрібно ввести елементи матриці за допомогою клавіатури. Тут також розташована панель керування матрицею, яка спрощує роботу з матрицями та містить такі елементи керування:

  • Перший елемент дозволяє розширити вікно матриці. Це може бути особливо корисно у випадках, коли потрібно виконувати розрахунки з дуже великими матрицями, які не вміщаються повністю. Якщо матриця все ще не видно після розширення вікна, ви можете змінити масштаб матриці за допомогою кнопок + / -;
  • Другий елемент виконує функцію копіювання введеної матриці в буфер пам'яті. Це може бути корисно у випадках, коли ви часто використовуєте одну й ту саму матрицю для розрахунків або якщо вам потрібно переміщати матриці між операціями;
  • А останній елемент вставляє раніше скопійовану матрицю, що дозволяє прискорити процес введення матриці до кількох кліків, замість того, щоб робити це вручну;

А ще нижче ви знайдете панель інструментів, яка дозволяє налаштувати калькулятор і зробити роботу з ним зручнішою. Вона візуально розділена на три частини, кожна з яких відповідає за наступний функціонал:

  • Перша дозволяє вибрати формат чисел при відображенні результату розв'язку. Також тут можна вимкнути коментарі до розв'язку задачі, якщо ви вже зрозуміли, як розв'язати цю задачу, і використовуєте калькулятор для прискорення або перевірки власних розрахунків. Або ви можете повністю вимкнути покроковий розв'язок, якщо вам потрібен лише результат розв'язку;
  • Друга містить кнопки, які дозволяють змінювати тип поля введення матриці, стирати її елементи або всю матрицю, а також найбільша кнопка зі знаком рівності, яка перенесе вас на екран з розв'язком задачі. Усі ці кнопки продубльовані клавішами на клавіатурі. Щоб дізнатися, яку клавішу на клавіатурі натиснути, просто наведіть курсор на одну з кнопок, і з'явиться підказка з назвою клавіші. Ви також можете використовувати клавіші зі стрілками на клавіатурі для переміщення курсору між полями введення матриці;
  • І остання дозволяє вибрати кількість знаків після коми для округлення нецілих чисел. Також тут можна одразу побачити приклад того, як виглядатимуть округлені дроби;

  Що таке LU-розклад матриці?

LU-розклад (де LU означає нижньо-верхній) — це факторизація заданої квадратної матриці на дві трикутні матриці, одна з яких є нижньою трикутною, а інша — верхньою трикутною, і добуток цих двох матриць дає вихідну матрицю.

  Як виконати LU-розклад матриці?

За допомогою методу Гауса можна обчислити верхню трикутну матрицю, і під час обчислення верхньої трикутної матриці ми будемо використовувати певні коефіцієнти для перетворення елементів нижче головної діагоналі в нулі. Коефіцієнт, який ми будемо використовувати для перетворення певного елемента в нуль, буде відповідним елементом нижньої трикутної матриці. Під час обчислення верхньої трикутної матриці нам потрібно позначити всі ці коефіцієнти як елементи нижньої трикутної матриці, і тоді ці елементи допоможуть нам скласти нижню трикутну матрицю.

  Приклад LU-розкладу матриці

Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
LU
-розклад - це представлення матриці
A
у вигляді
A
=
L
*
U
;
Верхня трикутна матриця (Матриця
U
) є квадратною матрицею, в якій всі елементи нижче головної діагоналі рівні нулю;
Використовуючи метод виключення Гауса, ми можемо обчислити матрицю
U
;
Нижня трикутна матриця (Матриця
L
) – квадратна матриця, де всі елементи над головною діагоналлю рівні нулю;
При обчисленні матриці
U
ми використовуватимемо певні коефіцієнти, щоб перетворити елементи нижче головної діагоналі на нуль;
Коефіцієнт, який ми використовуватимемо для перетворення певного елемента на нуль, буде відповідним елементом матриці
L
;
При обчисленні матриці
U
ми позначимо всі ці коефіцієнти як елементи матриці
L
і тоді ці елементи допоможуть нам скласти матрицю
L
;

Прямий Хід Гауса

2
Ітерація 1
Від
2
-го рядка віднімаємо
1
-й рядок, помножений на
1
10
;
Від
3
-го рядка віднімаємо
1
-й рядок, помножений на
3
100
;
Від
4
-го рядка віднімаємо
1
-й рядок, помножений на
3
50
;
71
0
0
0
8
7
21
100
4
77
100
4
11
20
5
4
51
100
7
43
50
4
18
25
2
1
4
5
6
47
50
1
89
100
Щоб перетворити елемент
a
0
2,1
на нуль, ми використовували коефіцієнт
1
10
;
Позначимо цей елемент як
l
0
2,1
:
l
0
2,1
=
1
10
;
Щоб перетворити елемент
a
0
3,1
на нуль, ми використовували коефіцієнт
3
100
;
Позначимо цей елемент як
l
0
3,1
:
l
0
3,1
=
3
100
;
Щоб перетворити елемент
a
0
4,1
на нуль, ми використовували коефіцієнт
3
50
;
Позначимо цей елемент як
l
0
4,1
:
l
0
4,1
=
3
50
;
3
Ітерація 2
Від
3
-го рядка віднімаємо
2
-й рядок, помножений на
33
50
;
Від
4
-го рядка віднімаємо
2
-й рядок, помножений на
63
100
;
71
0
0
0
8
7
21
100
0
0
5
4
51
100
4
22
25
1
22
25
2
1
4
5
5
3
4
3
4
Щоб перетворити елемент
a
0
3,2
на нуль, ми використовували коефіцієнт
33
50
;
Позначимо цей елемент як
l
0
3,2
:
l
0
3,2
=
33
50
;
Щоб перетворити елемент
a
0
4,2
на нуль, ми використовували коефіцієнт
63
100
;
Позначимо цей елемент як
l
0
4,2
:
l
0
4,2
=
63
100
;
4
Ітерація 3
Від
4
-го рядка віднімаємо
3
-й рядок, помножений на
19
50
;
71
0
0
0
8
7
21
100
0
0
5
4
51
100
4
22
25
0
2
1
4
5
5
3
4
-1
23
50
Щоб перетворити елемент
a
0
4,3
на нуль, ми використовували коефіцієнт
19
50
;
Позначимо цей елемент як
l
0
4,3
:
l
0
4,3
=
19
50
;
5
Матриця U
U
=
71
0
0
0
8
7
21
100
0
0
5
4
51
100
4
22
25
0
2
1
4
5
5
3
4
-1
23
50
6
Матриця L
Запишемо вихідну матрицю
L
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
L
=
1
×××
0
1
××
0
0
1
×
0
0
0
1
Як бачимо, всі елементи, помічені як невідомі, ми знайшли на попередньому етапі;
Тепер нам просто потрібно розмістити їх у правильних місцях;
Підставляючи всі елементи, отримуємо повністю складену матрицю
L
:
L
=
1
1
10
3
100
3
50
0
1
33
50
63
100
0
0
1
19
50
0
0
0
1
Answer
A = L · U
L
=
1
1
10
3
100
3
50
0
1
33
50
63
100
0
0
1
19
50
0
0
0
1
U
=
71
0
0
0
8
7
21
100
0
0
5
4
51
100
4
22
25
0
2
1
4
5
5
3
4
-1
23
50
Розмір4×4

  Пов'язані калькулятори

  Джерела

Google PlayApp Store