Розклад Шура калькулятор

Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Розв'язати

  Про калькулятор розкладу Шура

Це безкоштовний онлайн-калькулятор розкладу Шура з повним, детальним, покроковим описом розв'язків, що виконує операції з матрицями розміром до 99x99 з елементами матриці таких типів: десяткові числа, дроби, комплексні числа, змінні.

Щоб розпочати розрахунок, потрібно спочатку ввести розмір матриці в поле введення, яке можна знайти у верхній частині екрана, також там можна вибрати бажаний метод розрахунку.

Трохи нижче ви знайдете вікно матриці, в якому потрібно ввести елементи матриці за допомогою клавіатури. Тут також розташована панель керування матрицею, яка спрощує роботу з матрицями та містить такі елементи керування:

  • Перший елемент дозволяє розширити вікно матриці. Це може бути особливо корисно у випадках, коли потрібно виконувати розрахунки з дуже великими матрицями, які не вміщаються повністю. Якщо матриця все ще не видно після розширення вікна, ви можете змінити масштаб матриці за допомогою кнопок + / -;
  • Другий елемент виконує функцію копіювання введеної матриці в буфер пам'яті. Це може бути корисно у випадках, коли ви часто використовуєте одну й ту саму матрицю для розрахунків або якщо вам потрібно переміщати матриці між операціями;
  • А останній елемент вставляє раніше скопійовану матрицю, що дозволяє прискорити процес введення матриці до кількох кліків, замість того, щоб робити це вручну;

А ще нижче ви знайдете панель інструментів, яка дозволяє налаштувати калькулятор і зробити роботу з ним зручнішою. Вона візуально розділена на три частини, кожна з яких відповідає за наступний функціонал:

  • Перша дозволяє вибрати формат чисел при відображенні результату розв'язку. Також тут можна вимкнути коментарі до розв'язку задачі, якщо ви вже зрозуміли, як розв'язати цю задачу, і використовуєте калькулятор для прискорення або перевірки власних розрахунків. Або ви можете повністю вимкнути покроковий розв'язок, якщо вам потрібен лише результат розв'язку;
  • Друга містить кнопки, які дозволяють змінювати тип поля введення матриці, стирати її елементи або всю матрицю, а також найбільша кнопка зі знаком рівності, яка перенесе вас на екран з розв'язком задачі. Усі ці кнопки продубльовані клавішами на клавіатурі. Щоб дізнатися, яку клавішу на клавіатурі натиснути, просто наведіть курсор на одну з кнопок, і з'явиться підказка з назвою клавіші. Ви також можете використовувати клавіші зі стрілками на клавіатурі для переміщення курсору між полями введення матриці;
  • І остання дозволяє вибрати кількість знаків після коми для округлення нецілих чисел. Також тут можна одразу побачити приклад того, як виглядатимуть округлені дроби;

  Що таке розклад Шура?

Розклад Шура — це факторизація заданої квадратної матриці на три матриці: одна з яких є унітарною матрицею, друга — верхньою трикутною матрицею, а третя — оберненою до унітарної матриці. На головній діагоналі верхньої трикутної матриці розміщені власні значення вихідної матриці. Добуток унітарної матриці на верхню трикутну матрицю і обернену до унітарної матриці має дати вихідну матрицю.

  Як виконати розклад Шура матриці?

Спочатку потрібно знайти власні вектори вихідної матриці, а потім застосувати до них процес Грама-Шмідта (ортогоналізація та ортонормалізація), і отримані вектори будуть стовпцями унітарної матриці. Тепер ми можемо обчислити обернену унітарну матрицю. А після цього верхню трикутну матрицю можна знайти, помноживши обернену унітарну матрицю на вихідну матрицю і унітарну матрицю.

  Приклад розкладу Шура матриці

Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
Розкладання Шура – це представлення матриці
A
у вигляді:
A
=
U
*
T
*
U
-1
0
;
Матриця
U
– унітарна матриця;
Матриця
T
– верхньотрикутна матриця;
Матриця
U
-1
0
є оберненою матрицею до матриці
U
;
Щоб виконати декомпозицію Шура матриці
A
, потрібно зробити наступне:
1)
Обчислити власні значення матриці A, якщо кількість власних значень менша за розмір матриці A, розклад Шура неможливий
2)
Обчислити власні вектори матриці A
3)
Застосувати процес Грама–Шмідта (ортогоналізація та ортнормалізація) до власних векторів, і отримані вектори будуть стовпцями матриці U
4)
Обчислити обернену матрицю до матриці U
5)
І нарешті, ми можемо обчислити матрицю T за такою формулою:
T
=
U
-1
0
*
A
*
U
;
2
Власні вектори
25
1
50
2
81
100
1
-
21
100
89
100
1
1
20
-1
1
25
1
3
Ортогоналізація
25
1
50
2
81
100
1
-
7
50
89
100
1
2
25
-1
7
100
97
100
4
Ортонормалізація
U
=
99
100
11
100
1
25
-
1
10
33
50
37
50
3
50
-
37
50
67
100
5
Обернена матриця
U
-1
0
=
99
100
-
1
10
3
50
11
100
33
50
-
37
50
1
25
37
50
67
100
6
Матриця T
U
-1
0
A
=
U
-1
0
·
A
=
99
100
-
1
10
3
50
11
100
33
50
-
37
50
1
25
37
50
67
100
·
71
7
2
8
8
5
5
5
8
=
71
9
25
-1
27
100
4
25
9
3
100
8
17
100
-2
13
100
5
21
25
8
73
100
1
93
100
T
=
U
-1
0
A
·
U
=
71
9
25
-1
27
100
4
25
9
3
100
8
17
100
-2
13
100
5
21
25
8
73
100
1
93
100
·
99
100
11
100
1
25
-
1
10
33
50
37
50
3
50
-
37
50
67
100
=
72
1
10
0
0
2
89
100
12
1
50
0
1
6
25
-
29
100
2
22
25
Answer
A = U · T · U⁻¹
U
=
99
100
11
100
1
25
-
1
10
33
50
37
50
3
50
-
37
50
67
100
T
=
72
1
10
0
0
2
89
100
12
1
50
0
1
6
25
-
29
100
2
22
25
U
-1
0
=
99
100
-
1
10
3
50
11
100
33
50
-
37
50
1
25
37
50
67
100
Розмір3×3

  Пов'язані калькулятори

  Джерела

Google PlayApp Store