Про калькулятор QR-розкладу матриці
Це безкоштовний онлайн-калькулятор QR-розкладу матриці з повним, детальним, покроковим описом розв'язків, що виконує операції з матрицями розміром до 99x99 з елементами матриці таких типів: десяткові числа, дроби, комплексні числа, змінні.
Щоб розпочати розрахунок, потрібно спочатку ввести розмір матриці в поле введення, яке можна знайти у верхній частині екрана, також там можна вибрати бажаний метод розрахунку.
Трохи нижче ви знайдете вікно матриці, в якому потрібно ввести елементи матриці за допомогою клавіатури. Тут також розташована панель керування матрицею, яка спрощує роботу з матрицями та містить такі елементи керування:
- Перший елемент дозволяє розширити вікно матриці. Це може бути особливо корисно у випадках, коли потрібно виконувати розрахунки з дуже великими матрицями, які не вміщаються повністю. Якщо матриця все ще не видно після розширення вікна, ви можете змінити масштаб матриці за допомогою кнопок + / -;
- Другий елемент виконує функцію копіювання введеної матриці в буфер пам'яті. Це може бути корисно у випадках, коли ви часто використовуєте одну й ту саму матрицю для розрахунків або якщо вам потрібно переміщати матриці між операціями;
- А останній елемент вставляє раніше скопійовану матрицю, що дозволяє прискорити процес введення матриці до кількох кліків, замість того, щоб робити це вручну;
А ще нижче ви знайдете панель інструментів, яка дозволяє налаштувати калькулятор і зробити роботу з ним зручнішою. Вона візуально розділена на три частини, кожна з яких відповідає за наступний функціонал:
- Перша дозволяє вибрати формат чисел при відображенні результату розв'язку. Також тут можна вимкнути коментарі до розв'язку задачі, якщо ви вже зрозуміли, як розв'язати цю задачу, і використовуєте калькулятор для прискорення або перевірки власних розрахунків. Або ви можете повністю вимкнути покроковий розв'язок, якщо вам потрібен лише результат розв'язку;
- Друга містить кнопки, які дозволяють змінювати тип поля введення матриці, стирати її елементи або всю матрицю, а також найбільша кнопка зі знаком рівності, яка перенесе вас на екран з розв'язком задачі. Усі ці кнопки продубльовані клавішами на клавіатурі. Щоб дізнатися, яку клавішу на клавіатурі натиснути, просто наведіть курсор на одну з кнопок, і з'явиться підказка з назвою клавіші. Ви також можете використовувати клавіші зі стрілками на клавіатурі для переміщення курсору між полями введення матриці;
- І остання дозволяє вибрати кількість знаків після коми для округлення нецілих чисел. Також тут можна одразу побачити приклад того, як виглядатимуть округлені дроби;
Що таке QR-розклад матриці?
QR-розклад — це факторизація заданої матриці на дві матриці, одна з яких є ортонормованою матрицею, а інша — верхньою трикутною матрицею, і добуток цих двох матриць дає вихідну матрицю. QR-розклад можна застосовувати до матриць, у яких кількість стовпців не перевищує кількість рядків.
Як виконати QR-розклад матриці за допомогою процесу Грама-Шмідта?
Спочатку потрібно застосувати процес Грама-Шмідта (ортогоналізацію та ортонормалізацію) до стовпців заданої матриці, і отримані вектори будуть стовпцями ортонормованої матриці. Потім, щоб отримати верхню трикутну матрицю, потрібно знайти транспоновану матрицю ортонормованої матриці та помножити її на вихідну матрицю.
Як виконати QR-розклад матриці за допомогою відбиттів Хаусхолдера?
Слід почати з обчислення вектора відбиття Хаусхолдера для кожного стовпця заданої матриці. Після застосування перетворення Хаусхолдера до всіх стовпців заданої матриці, отримана перетворена матриця буде верхньою трикутною матрицею. Ортогональна матриця отримується шляхом множення всіх матриць Хаусхолдера, отриманих на кожному кроці під час обчислення верхньої трикутної матриці.
Як виконати QR-розклад матриці за допомогою поворотів Гівенса?
Ми можемо використовувати повороти Гівенса, щоб зробити всі елементи нижче головної діагоналі заданої матриці нульовими, що дасть нам верхню трикутну матрицю. Під час обчислення верхньої трикутної матриці на кожній ітерації ми будемо обчислювати матрицю G, щоб перетворити елементи нижче головної діагоналі на нуль. Щоб отримати ортонормовану матрицю, необхідно перемножити всі транспоновані матриці G.
Джерела
