פירוק חשבון מחשבון

תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=פתור

  אודות מחשבון פירוק חולסקי של מטריצה

מחשבון פירוק חולסקי של מטריצה מקוון זה מחשב את פירוק חולסקי עבור מטריצה עם תיאור פתרונות שלם, מפורט, שלב אחר שלב, המבצע פעולות עם מטריצות בגודל עד 99x99 עם איברי מטריצה מסוג זה: מספרים עשרוניים, שברים, מספרים מרוכבים, משתנים.

כדי להתחיל את החישוב, עליך תחילה להזין את גודל המטריצה בשדה הקלט שניתן למצוא בחלק העליון ביותר של המסך, כמו כן שם תוכל לבחור את שיטת החישוב הרצויה.

מעט למטה תמצאו חלון מטריצה שבו עליכם להזין את איברי המטריצה באמצעות המקלדת. פנל הבקרה של המטריצה ממוקם גם כאן, ומפשט את העבודה עם מטריצות ומכיל את אלמנטי הבקרה הבאים:

  • האלמנט הראשון מאפשר להרחיב את חלון המטריצה. זה יכול להיות שימושי במיוחד במקרים שבהם אתה צריך לבצע חישובים עם מטריצות גדולות מאוד שלא מתאימות לחלוטין. אם המטריצה עדיין לא נראית לאחר הרחבת החלון, אתה יכול לשנות את קנה המידה של המטריצה באמצעות הכפתורים + / -;
  • האלמנט השני מבצע את הפונקציה של העתקת קלט המטריצה לחוצץ הזיכרון. זה יכול להיות שימושי במקרים בהם אתה משתמש לעתים קרובות באותה מטריצה עבור חישובים, או אם אתה צריך להעביר מטריצות בין פעולות;
  • והאלמנט האחרון מחדיר את המטריצה שהועתקה קודם לכן, מה שמאפשר לך להאיץ את תהליך הזנת המטריצה לכמה לחיצות בלבד, במקום לעשות זאת באופן ידני;

ו dále [and further down] תמצאו סרגל כלים המאפשר לך להתאים אישית את המחשבון ולהקל על העבודה איתו. הוא מחולק ויזואלית לשלושה חלקים, כאשר כל אחד מהם אחראי על הפונקציונליות הבאה:

  • הראשון מאפשר לך לבחור את תבנית המספרים כאשר מוצג תוצאת הפתרון. כמו כן, כאן אתה יכול לכבות הערות לפתרון הבעיה אם כבר הבנת איך לפתור את הבעיה הזו, ואתה משתמש במחשבון כדי להאיץ או לבדוק את החישובים שלך בעצמך. או שאתה יכול לכבות את הפתרון שלב אחר שלב לחלוטין אם אתה צריך רק את תוצאת הפתרון;
  • השני מכיל כפתורים המאפשרים לך לשנות את סוג שדה קלט המטריצה, למחוק את האלמנטים שלה או את כל המטריצה, והכפתור הגדול ביותר עם סימן שווה, שיוביל אותך למסך עם פתרון הבעיה. כל הכפתורים האלה משוכפלים על ידי מקשים במקלדת. כדי לגלות איזה מקש במקלדת צריך ללחוץ, פשוט רחף מעל אחד מהכפתורים ותופיע תצוגת על עם שם המקש. אתה יכול גם להשתמש במקשי החצים במקלדת שלך כדי להזיז את הסמן בין שדות קלט המטריצה;
  • והאחרון מאפשר לך לבחור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית לעיגול מספרים שאינם שלמים. כמו כן, כאן תוכל לראות מיד דוגמה איך שברים מעוגלים ייראו;

  מהו פירוק חולסקי של מטריצה?

פירוק חולסקי הוא פירוק של מטריצה סימטרית חיובית ק definite למטריצה משולשת תחתונה והטרנספוזיציה של המטריצה המשולשת התחתונה, ומכפלת שתי המטריצות הללו צריכה לתת את המטריצה המקורית. מטריצה היא סימטרית אם היא שווה למטריצה המטוטרספונה שלה, וחיובית ק definite אם כל תת-מטריצות השמאליות העליונות שלה חיוביות.

  כיצד לבצע פירוק חולסקי של מטריצה?

ראשית, יש לוודא שהמטריצה היא סימטרית חיובית ק definite. לאחר מכן מתחיל תהליך איטרטיבי של מציאת המטריצה המשולשת התחתונה. יהיה אותו מספר איטרציות כמו שיש אלמנטים מתחת לאלכסון הראשי של המטריצה המקורית, לכל אלמנט יש איטרציה משלו. והתוצאה של כל איטרציה תהיה אלמנט אחד של המטריצה המשולשת התחתונה. כדי למצוא את האלמנטים של המטריצה המשולשת התחתונה, אנו צריכים להשתמש בשני נוסחאות (1) ו- (2), ראו להלן. לאחר שכל האלמנטים של המטריצה המשולשת התחתונה נמצאו, נותר רק לבצע טרנספוזיציה שלה.

  דוגמה לפירוק חולסקי של מטריצה

רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
4
2
2
2
5
1
2
1
3
פירוק חולסקי הוא הצגה של מטריצה סימטרית חיובית מוגדרת
A
בצורה
A
=
L
*
L
T
0
;
מטריצה היא סימטרית אם היא שווה למטריצה המשוחלפת שלה:
A
=
A
T
0
;
מטריצה חיובית מוגדרת אם כל תת-מטריצותיה השמאליות-עליונות חיוביות;
לפני חישוב המטריצה
L
, בדוק האם המטריצה
A
סימטרית וחיובית מוגדרת;
2
סימטרית
כדי לקבוע האם מטריצה
A
סימטרית, נמצא את המטריצה המשוחלפת שלה ונשווה ביניהן:
A
T
0
=
4
2
2
2
5
1
2
1
3
A
=
A
T
0
=
4
2
2
2
5
1
2
1
3
=
4
2
2
2
5
1
2
1
3

חיובית מוגדרת

3
M₁
4
2
2
2
5
1
2
1
3
=
4
=
4
;
4
>
0;
חיובית;
4
M₂
4
2
2
2
5
1
2
1
3
=
4
2
2
5
=
16
;
16
>
0;
חיובית;
5
M₃
4
2
2
2
5
1
2
1
3
=
4
2
2
2
5
1
2
1
3
=
32
;
32
>
0;
חיובית;
6
מטריצה L
בדקנו שהמטריצה
A
סימטרית חיובית מוגדרת;
זה אומר שפירוק חולסקי אפשרי;
נרשום את המטריצה הראשית
L
ונση את האלמנטים שאנחנו צריכים למצוא כלא ידועים:
L
=
×××
0
××
0
0
×
לחישוב איברי המטריצה
L
, נשתמש בשני נוסחאות:
הנוסחה הראשונה (1) לאלמנטים הממוקמים על האלכסון הראשי;
הנוסחה השנייה (2) היא לכל שאר האלמנטים;
l
0
i,i
=
a
0
i,i
-
i
- 1
k
= 1
l
2
i,k
(1)
השתמש בנוסחה זו כאשר
i = j
;
// כאשר
i
הוא מספר השורה
j
הוא מספר העמודה
k
הוא מונה משתנה, אשר עבור כל איבר lᵢ,ᵢ יתחיל בערך 1, יעלה ב-1 בכל איטרציה, ויסתיים בערך של i - 1
a
הוא איבר במטריצה A
l
הוא איבר במטריצה L
אי הכללה
לחישוב
l
0
1,1
אנו זקוקים לאלמנט מתחת לאינדקס
i - 1
, אשר במקרה זה שווה ל-0, ולכן אינו קיים;
לכן, במקרה זה:
l
0
1,1
=
a
0
1,1
;
l
0
i,j
=
a
0
i,j
-
j
- 1
k
= 1
l
0
j,k
*
l
0
i,k
l
0
j,j
(2)
השתמש בנוסחה זו כאשר
i > j
;
// כאשר
i
הוא מספר השורה
j
הוא מספר העמודה
k
הוא מונה משתנה, אשר עבור כל איבר lᵢ,ⱼ יתחיל בערך 1, יעלה ב-1 בכל איטרציה, ויסתיים בערך של j - 1
a
הוא איבר במטריצה A
l
הוא איבר במטריצה L
אי הכללה
לחישוב
l
0
i
,1
אנו זקוקים לאלמנט מתחת לאינדקס
j - 1
, אשר במקרה זה שווה ל-0, ולכן אינו קיים;
לכן, במקרה זה:
l
0
i
,1
=
a
0
i
,1
l
0
1,1
;
7
l₁,₁
i
= 1;
j
= 1;
השתמש באי הכללה של נוסחה
(1)
:
l
0
1,1
=
a
0
1,1
=
4
=
2
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
××
0
××
0
0
×
8
l₂,₁
i
= 2;
j
= 1;
השתמש באי הכללה של נוסחה
(2)
:
l
0
2,1
=
a
0
2,1
l
0
1,1
=
2
2
=
1
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
1
×
0
××
0
0
×
9
l₂,₂
i
= 2;
j
= 2;
k
= { 1 };
השתמש בנוסחה
(1)
:
l
0
2,2
=
a
0
2,2
-
l
2
2,1
=
5
-
1
2
0
=
2
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
1
×
0
2
×
0
0
×
10
l₃,₁
i
= 3;
j
= 1;
השתמש באי הכללה של נוסחה
(2)
:
l
0
3,1
=
a
0
3,1
l
0
1,1
=
2
2
=
1
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
1
1
0
2
×
0
0
×
11
l₃,₂
i
= 3;
j
= 2;
k
= { 1 };
השתמש בנוסחה
(2)
:
l
0
3,2
=
a
0
3,2
-
(
l
0
2,1
*
l
0
3,1
)
l
0
2,2
=
1
-
(
1
*
1
)
2
=
0
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
1
1
0
2
0
0
0
×
12
l₃,₃
i
= 3;
j
= 3;
k
= { 1, 2 };
השתמש בנוסחה
(1)
:
l
0
3,3
=
a
0
3,3
-
(
l
2
3,1
+
l
2
3,2
)
=
3
-
(
1
2
0
+
0
2
0
)
=
1
41
100
;
כתוב את האלמנט המחושב במטריצה
L
:
L
=
2
1
1
0
2
0
0
0
1
41
100
13
מטריצה Lᵀ
חישבנו את כל איברי המטריצה
L
;
עכשיו, כדי להשלים את פירוק חולסקי, אנחנו רק צריכים למצוא את המטריצה המשוחלפת שלה:
L
T
0
=
2
0
0
1
2
0
1
0
1
41
100
Answer
A = L · Lᵀ
L
=
2
1
1
0
2
0
0
0
1
41
100
L
T
0
=
2
0
0
1
2
0
1
0
1
41
100
גודל3×3

  מחשבונים קשורים

  מקורות

Google PlayApp Store