פירוק ערכים יחידים מחשבון

  אודות מחשבון פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה

מחשבון פירוק ערכים יחידים (SVD) מקוון זה מחשב את פירוק ערכים יחידים עבור מטריצה עם תיאור פתרונות שלם, מפורט, שלב אחר שלב, המבצע פעולות עם מטריצות בגודל עד 20x20 עם איברי מטריצה מסוג זה: מספרים עשרוניים, שברים, מספרים מרוכבים, משתנים.

כדי להתחיל את החישוב, עליך תחילה להזין את גודל המטריצה בשדה הקלט שניתן למצוא בחלק העליון ביותר של המסך, כמו כן שם תוכל לבחור את שיטת החישוב הרצויה.

מעט למטה תמצאו חלון מטריצה שבו עליכם להזין את איברי המטריצה באמצעות המקלדת. פנל הבקרה של המטריצה ממוקם גם כאן, ומפשט את העבודה עם מטריצות ומכיל את אלמנטי הבקרה הבאים:

• האלמנט הראשון מאפשר להרחיב את חלון המטריצה. זה יכול להיות שימושי במיוחד במקרים שבהם אתה צריך לבצע חישובים עם מטריצות גדולות מאוד שלא מתאימות לחלוטין. אם המטריצה עדיין לא נראית לאחר הרחבת החלון, אתה יכול לשנות את קנה המידה של המטריצה באמצעות הכפתורים + / -;
• האלמנט השני מבצע את הפונקציה של העתקת קלט המטריצה לחוצץ הזיכרון. זה יכול להיות שימושי במקרים בהם אתה משתמש לעתים קרובות באותה מטריצה עבור חישובים, או אם אתה צריך להעביר מטריצות בין פעולות;
• והאלמנט האחרון מחדיר את המטריצה שהועתקה קודם לכן, מה שמאפשר לך להאיץ את תהליך הזנת המטריצה לכמה לחיצות בלבד, במקום לעשות זאת באופן ידני;

ו dále [and further down] תמצאו סרגל כלים המאפשר לך להתאים אישית את המחשבון ולהקל על העבודה איתו. הוא מחולק ויזואלית לשלושה חלקים, כאשר כל אחד מהם אחראי על הפונקציונליות הבאה:

• הראשון מאפשר לך לבחור את תבנית המספרים כאשר מוצג תוצאת הפתרון. כמו כן, כאן אתה יכול לכבות הערות לפתרון הבעיה אם כבר הבנת איך לפתור את הבעיה הזו, ואתה משתמש במחשבון כדי להאיץ או לבדוק את החישובים שלך בעצמך. או שאתה יכול לכבות את הפתרון שלב אחר שלב לחלוטין אם אתה צריך רק את תוצאת הפתרון;
• השני מכיל כפתורים המאפשרים לך לשנות את סוג שדה קלט המטריצה, למחוק את האלמנטים שלה או את כל המטריצה, והכפתור הגדול ביותר עם סימן שווה, שיוביל אותך למסך עם פתרון הבעיה. כל הכפתורים האלה משוכפלים על ידי מקשים במקלדת. כדי לגלות איזה מקש במקלדת צריך ללחוץ, פשוט רחף מעל אחד מהכפתורים ותופיע תצוגת על עם שם המקש. אתה יכול גם להשתמש במקשי החצים במקלדת שלך כדי להזיז את הסמן בין שדות קלט המטריצה;
• והאחרון מאפשר לך לבחור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית לעיגול מספרים שאינם שלמים. כמו כן, כאן תוכל לראות מיד דוגמה איך שברים מעוגלים ייראו;

  מהו פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה?

פירוק ערכים יחידים (SVD) הוא פירוק של מטריצה ממשית או מרוכבת נתונה לשלוש מטריצות: הראשונה היא מטריצה 酉 (unitary matrix) מרוכבת n x n, השנייה היא מטריצה אלכסונית מלבנית n x m עם ערכים יחידים (מספרים ממשיים לא שליליים) על האלכסון, והשלישית היא מטריצת צמוד-טרנספוזיציה 酉 (conjugate transpose complex unitary matrix) מרוכבת m x m. מכפלת מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n על ידי מטריצה אלכסונית מלבנית n x m ועל ידי מטריצת צמוד-טרנספוזיציה 酉 (conjugate transpose complex unitary matrix) m x m צריכה לתת את המטריצה המקורית.

  כיצד לבצע פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה?

ראשית, עלינו למצוא את המטריצה ההרמיטית הראשונה של המטריצה המקורית על ידי הכפלת המטריצה המקורית במטריצה המשוחלפת שלה. לאחר מכן, עלינו למצוא את המטריצה ההרמיטית השנייה של המטריצה המקורית על ידי הכפלת המטריצה המשוחלפת של המקורית במטריצה המקורית. לאחר מכן, יש לחשב את הערכים העציים והווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית הראשונה. עכשיו אנחנו צריכים לחשב את הערכים היחידים על ידי לקיחת שורש ריבועי של כל ערך עצמי חיובי של המטריצה ההרמיטית הראשונה. זה יאפשר לנו להרכיב מטריצה אלכסונית מלבנית על ידי הצבת הערכים היחידים על האלכסון הראשי ומילוי כל שאר האלמנטים של המטריצה באפסים. גם בשלב זה נוכל למצוא את מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n המרוכבת על ידי נרמול הווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית הראשונה והצבתם כעמודות של מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n המרוכבת. לאחר מכן, יש למצוא את הווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית השנייה, לנרמל אותם ולהציב אותם כעמודות של מטריצת 酉 (unitary matrix) מרוכבת m x m. ועכשיו נותר רק למצוא את מטריצת הצמוד-טרנספוזיציה של מטריצת 酉 (unitary matrix) מרוכבת m x m.