פירוק ערכים יחידים מחשבון

תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  אודות מחשבון פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה

מחשבון פירוק ערכים יחידים (SVD) מקוון זה מחשב את פירוק ערכים יחידים עבור מטריצה עם תיאור פתרונות שלם, מפורט, שלב אחר שלב, המבצע פעולות עם מטריצות בגודל עד 99x99 עם איברי מטריצה מסוג זה: מספרים עשרוניים, שברים, מספרים מרוכבים, משתנים.

כדי להתחיל את החישוב, עליך תחילה להזין את גודל המטריצה בשדה הקלט שניתן למצוא בחלק העליון ביותר של המסך, כמו כן שם תוכל לבחור את שיטת החישוב הרצויה.

מעט למטה תמצאו חלון מטריצה שבו עליכם להזין את איברי המטריצה באמצעות המקלדת. פנל הבקרה של המטריצה ממוקם גם כאן, ומפשט את העבודה עם מטריצות ומכיל את אלמנטי הבקרה הבאים:

  • האלמנט הראשון מאפשר להרחיב את חלון המטריצה. זה יכול להיות שימושי במיוחד במקרים שבהם אתה צריך לבצע חישובים עם מטריצות גדולות מאוד שלא מתאימות לחלוטין. אם המטריצה עדיין לא נראית לאחר הרחבת החלון, אתה יכול לשנות את קנה המידה של המטריצה באמצעות הכפתורים + / -;
  • האלמנט השני מבצע את הפונקציה של העתקת קלט המטריצה לחוצץ הזיכרון. זה יכול להיות שימושי במקרים בהם אתה משתמש לעתים קרובות באותה מטריצה עבור חישובים, או אם אתה צריך להעביר מטריצות בין פעולות;
  • והאלמנט האחרון מחדיר את המטריצה שהועתקה קודם לכן, מה שמאפשר לך להאיץ את תהליך הזנת המטריצה לכמה לחיצות בלבד, במקום לעשות זאת באופן ידני;

ו dále [and further down] תמצאו סרגל כלים המאפשר לך להתאים אישית את המחשבון ולהקל על העבודה איתו. הוא מחולק ויזואלית לשלושה חלקים, כאשר כל אחד מהם אחראי על הפונקציונליות הבאה:

  • הראשון מאפשר לך לבחור את תבנית המספרים כאשר מוצג תוצאת הפתרון. כמו כן, כאן אתה יכול לכבות הערות לפתרון הבעיה אם כבר הבנת איך לפתור את הבעיה הזו, ואתה משתמש במחשבון כדי להאיץ או לבדוק את החישובים שלך בעצמך. או שאתה יכול לכבות את הפתרון שלב אחר שלב לחלוטין אם אתה צריך רק את תוצאת הפתרון;
  • השני מכיל כפתורים המאפשרים לך לשנות את סוג שדה קלט המטריצה, למחוק את האלמנטים שלה או את כל המטריצה, והכפתור הגדול ביותר עם סימן שווה, שיוביל אותך למסך עם פתרון הבעיה. כל הכפתורים האלה משוכפלים על ידי מקשים במקלדת. כדי לגלות איזה מקש במקלדת צריך ללחוץ, פשוט רחף מעל אחד מהכפתורים ותופיע תצוגת על עם שם המקש. אתה יכול גם להשתמש במקשי החצים במקלדת שלך כדי להזיז את הסמן בין שדות קלט המטריצה;
  • והאחרון מאפשר לך לבחור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית לעיגול מספרים שאינם שלמים. כמו כן, כאן תוכל לראות מיד דוגמה איך שברים מעוגלים ייראו;

  מהו פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה?

פירוק ערכים יחידים (SVD) הוא פירוק של מטריצה ממשית או מרוכבת נתונה לשלוש מטריצות: הראשונה היא מטריצה 酉 (unitary matrix) מרוכבת n x n, השנייה היא מטריצה אלכסונית מלבנית n x m עם ערכים יחידים (מספרים ממשיים לא שליליים) על האלכסון, והשלישית היא מטריצת צמוד-טרנספוזיציה 酉 (conjugate transpose complex unitary matrix) מרוכבת m x m. מכפלת מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n על ידי מטריצה אלכסונית מלבנית n x m ועל ידי מטריצת צמוד-טרנספוזיציה 酉 (conjugate transpose complex unitary matrix) m x m צריכה לתת את המטריצה המקורית.

  כיצד לבצע פירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה?

ראשית, עלינו למצוא את המטריצה ההרמיטית הראשונה של המטריצה המקורית על ידי הכפלת המטריצה המקורית במטריצה המשוחלפת שלה. לאחר מכן, עלינו למצוא את המטריצה ההרמיטית השנייה של המטריצה המקורית על ידי הכפלת המטריצה המשוחלפת של המקורית במטריצה המקורית. לאחר מכן, יש לחשב את הערכים העציים והווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית הראשונה. עכשיו אנחנו צריכים לחשב את הערכים היחידים על ידי לקיחת שורש ריבועי של כל ערך עצמי חיובי של המטריצה ההרמיטית הראשונה. זה יאפשר לנו להרכיב מטריצה אלכסונית מלבנית על ידי הצבת הערכים היחידים על האלכסון הראשי ומילוי כל שאר האלמנטים של המטריצה באפסים. גם בשלב זה נוכל למצוא את מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n המרוכבת על ידי נרמול הווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית הראשונה והצבתם כעמודות של מטריצת 酉 (unitary matrix) n x n המרוכבת. לאחר מכן, יש למצוא את הווקטורים העציים של המטריצה ההרמיטית השנייה, לנרמל אותם ולהציב אותם כעמודות של מטריצת 酉 (unitary matrix) מרוכבת m x m. ועכשיו נותר רק למצוא את מטריצת הצמוד-טרנספוזיציה של מטריצת 酉 (unitary matrix) מרוכבת m x m.

  דוגמה לפירוק ערכים יחידים (SVD) של מטריצה

רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
פירוק ערך יחידי (פירוק SV) הוא ייצוג של המטריצה
A
בצורה:
A
=
U
*
Σ
*
V
*
0
;
מטריצה
U
היא מטריצה אוניטרית מרוכבת בגודל
n
x
n
;
מטריצה
Σ
היא מטריצה באותו גודל כמו מטריצה
A
(
n
x
m
), בה ערכים יחידים נמצאים על האלכסון הראשי וכל שאר האלמנטים הם אפס;
מטריצה
V
היא מטריצה אוניטרית מרוכבת בגודל
m
x
m
;
מטריצה
V
*
0
היא הצמוד המשוחלף של המטריצה
V
;
// כאשר
n
הוא מספר השורות במטריצה A
m
הוא מספר העמודות במטריצה A
כדי לבצע פירוק ערך יחידי של המטריצה
A
, יש לבצע את הפעולות הבאות:
1)
חשב את המטריצה H₁ באמצעות הנוסחה הבאה
H₁
=
A
*
A
T
0
;
2)
חשב את המטריצה H₂ באמצעות הנוסחה הבאה
H₂
=
A
T
0
*
A
;
3)
חשב את הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של המטריצה H₁
4)
חשב את הערכים היחידים על ידי לקיחת שורש ריבועי של כל ערך עצמי חיובי של המטריצה H₁
5)
סדר את הערכים היחידים בסדר יורד והנח אותם על האלכסון הראשי של המטריצה Σ, מלא את כל שאר האלמנטים של המטריצה באפסים
6)
נרמל את הווקטורים העצמיים של המטריצה H₁ והנח אותם כעמודות של המטריצה U
7)
חשב את הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של המטריצה H₂
8)
נרמל את הווקטורים העצמיים של המטריצה H₂ והנח אותם כעמודות של המטריצה V
9)
חשב את הצמוד המשוחלף (V*) של המטריצה V
2
מטריצה Aᵀ
A
T
0
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
a
T
0
0
1,1
=
a
0
1,1
=
71
;
a
T
0
0
1,2
=
a
0
2,1
=
7
;
a
T
0
0
1,3
=
a
0
3,1
=
2
;
a
T
0
0
1,4
=
a
0
4,1
=
4
;
a
T
0
0
2,1
=
a
0
1,2
=
8
;
a
T
0
0
2,2
=
a
0
2,2
=
8
;
a
T
0
0
2,3
=
a
0
3,2
=
5
;
a
T
0
0
2,4
=
a
0
4,2
=
5
;
a
T
0
0
3,1
=
a
0
1,3
=
5
;
a
T
0
0
3,2
=
a
0
2,3
=
5
;
a
T
0
0
3,3
=
a
0
3,3
=
8
;
a
T
0
0
3,4
=
a
0
4,3
=
5
;
a
T
0
0
4,1
=
a
0
1,4
=
2
;
a
T
0
0
4,2
=
a
0
2,4
=
2
;
a
T
0
0
4,3
=
a
0
3,4
=
7
;
a
T
0
0
4,4
=
a
0
4,4
=
2
;
הסתר תיאור
16 איברים
3
מטריצה H₁
H1
=
A
·
A
T
0
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
·
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
=
5134
590
236
353
590
142
108
97
236
108
142
87
353
97
87
70
h1
0
1,1
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,1
=
71
*
71
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
5134
;
h1
0
1,2
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,2
=
71
*
7
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
590
;
h1
0
1,3
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,3
=
71
*
2
+
8
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
236
;
h1
0
1,4
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,4
=
71
*
4
+
8
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
353
;
h1
0
2,1
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,1
=
7
*
71
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
590
;
h1
0
2,2
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,2
=
7
*
7
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
142
;
h1
0
2,3
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,3
=
7
*
2
+
8
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
108
;
h1
0
2,4
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,4
=
7
*
4
+
8
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
97
;
h1
0
3,1
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,1
=
2
*
71
+
5
*
8
+
8
*
5
+
7
*
2
=
236
;
h1
0
3,2
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,2
=
2
*
7
+
5
*
8
+
8
*
5
+
7
*
2
=
108
;
h1
0
3,3
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,3
=
2
*
2
+
5
*
5
+
8
*
8
+
7
*
7
=
142
;
h1
0
3,4
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,4
=
2
*
4
+
5
*
5
+
8
*
5
+
7
*
2
=
87
;
h1
0
4,1
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,1
=
4
*
71
+
5
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
353
;
h1
0
4,2
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,2
=
4
*
7
+
5
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
97
;
h1
0
4,3
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,3
=
4
*
2
+
5
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
87
;
h1
0
4,4
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,4
=
4
*
4
+
5
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
70
;
הסתר תיאור
16 איברים
4
מטריצה H₂
H2
=
A
T
0
·
A
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
·
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
=
5110
654
426
178
654
178
145
77
426
145
139
86
178
77
86
61
h2
0
1,1
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,1
=
71
*
71
+
7
*
7
+
2
*
2
+
4
*
4
=
5110
;
h2
0
1,2
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,2
=
71
*
8
+
7
*
8
+
2
*
5
+
4
*
5
=
654
;
h2
0
1,3
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,3
=
71
*
5
+
7
*
5
+
2
*
8
+
4
*
5
=
426
;
h2
0
1,4
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,4
=
71
*
2
+
7
*
2
+
2
*
7
+
4
*
2
=
178
;
h2
0
2,1
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,1
=
8
*
71
+
8
*
7
+
5
*
2
+
5
*
4
=
654
;
h2
0
2,2
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,2
=
8
*
8
+
8
*
8
+
5
*
5
+
5
*
5
=
178
;
h2
0
2,3
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,3
=
8
*
5
+
8
*
5
+
5
*
8
+
5
*
5
=
145
;
h2
0
2,4
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,4
=
8
*
2
+
8
*
2
+
5
*
7
+
5
*
2
=
77
;
h2
0
3,1
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,1
=
5
*
71
+
5
*
7
+
8
*
2
+
5
*
4
=
426
;
h2
0
3,2
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,2
=
5
*
8
+
5
*
8
+
8
*
5
+
5
*
5
=
145
;
h2
0
3,3
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,3
=
5
*
5
+
5
*
5
+
8
*
8
+
5
*
5
=
139
;
h2
0
3,4
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,4
=
5
*
2
+
5
*
2
+
8
*
7
+
5
*
2
=
86
;
h2
0
4,1
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,1
=
2
*
71
+
2
*
7
+
7
*
2
+
2
*
4
=
178
;
h2
0
4,2
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,2
=
2
*
8
+
2
*
8
+
7
*
5
+
2
*
5
=
77
;
h2
0
4,3
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,3
=
2
*
5
+
2
*
5
+
7
*
8
+
2
*
5
=
86
;
h2
0
4,4
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,4
=
2
*
2
+
2
*
2
+
7
*
7
+
2
*
2
=
61
;
הסתר תיאור
16 איברים
5
וקטורים עצמיים H₁
14
97
4863
1
21
32
87
124
1
-
91
305
1
40
197
1
52
75
1
-
31
110
2
96
103
-2
57
79
1
95
37576
-
29
54
-
4
19
1
6
מטריצה Σ
Σ
=
5240
73
107
0
0
0
0
228
17
30
0
0
0
0
18
31
216
0
0
0
0
68
111
=
72
52
133
0
0
0
0
15
12
101
0
0
0
0
4
13
50
0
0
0
0
64
81
7
אורתונורמליזציה H₁
U
=
95
96
2
17
73
1461
77
1090
-
67
516
61
117
50
69
72
167
-
82
1203
67
95
-
43
65
13
53
27
12365
-
7
15
-
46
251
97
112
8
וקטורים עצמיים H₂
26
20
43
3
1
2
2
19
58
1
-
13
38
1
61
189
1
43
91
1
45
581
-1
89
1255
49
163
1
-
17
1772
35
59
-1
86
401
1
9
אורתונורמליזציה H₂
V
=
61
62
75
574
55
624
77
2048
-
53
346
87
148
79
120
69
154
33
632
-
5
7
65
323
64
95
-
15
2611
79
223
-
73
101
89
149
10
מטריצה Vᵀ
V
T
0
=
61
62
-
53
346
33
632
-
15
2611
75
574
87
148
-
5
7
79
223
55
624
79
120
65
323
-
73
101
77
2048
69
154
64
95
89
149
V
T
0
0
1,1
=
v
0
1,1
=
61
62
;
V
T
0
0
1,2
=
v
0
2,1
=
75
574
;
V
T
0
0
1,3
=
v
0
3,1
=
55
624
;
V
T
0
0
1,4
=
v
0
4,1
=
77
2048
;
V
T
0
0
2,1
=
v
0
1,2
=
-
53
346
;
V
T
0
0
2,2
=
v
0
2,2
=
87
148
;
V
T
0
0
2,3
=
v
0
3,2
=
79
120
;
V
T
0
0
2,4
=
v
0
4,2
=
69
154
;
V
T
0
0
3,1
=
v
0
1,3
=
33
632
;
V
T
0
0
3,2
=
v
0
2,3
=
-
5
7
;
V
T
0
0
3,3
=
v
0
3,3
=
65
323
;
V
T
0
0
3,4
=
v
0
4,3
=
64
95
;
V
T
0
0
4,1
=
v
0
1,4
=
-
15
2611
;
V
T
0
0
4,2
=
v
0
2,4
=
79
223
;
V
T
0
0
4,3
=
v
0
3,4
=
-
73
101
;
V
T
0
0
4,4
=
v
0
4,4
=
89
149
;
הסתר תיאור
16 איברים
Answer
A = U · Σ · Vᵀ
U
=
95
96
2
17
73
1461
77
1090
-
67
516
61
117
50
69
72
167
-
82
1203
67
95
-
43
65
13
53
27
12365
-
7
15
-
46
251
97
112
Σ
=
72
52
133
0
0
0
0
15
12
101
0
0
0
0
4
13
50
0
0
0
0
64
81
V
T
0
=
61
62
-
53
346
33
632
-
15
2611
75
574
87
148
-
5
7
79
223
55
624
79
120
65
323
-
73
101
77
2048
69
154
64
95
89
149
גודל4×4

  מחשבונים קשורים

  מקורות

Google PlayApp Store