תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
אודות מחשבון ערכים עציים של מטריצה
מחשבון ערכים עציים של מטריצה מקוון זה מחשב את הערכים העציים עבור מטריצה עם תיאור פתרונות שלם, מפורט, שלב אחר שלב, המבצע פעולות עם מטריצות בגודל עד 99x99 עם איברי מטריצה מסוג זה: מספרים עשרוניים, שברים, מספרים מרוכבים, משתנים.
כדי להתחיל את החישוב, עליך תחילה להזין את גודל המטריצה בשדה הקלט שניתן למצוא בחלק העליון ביותר של המסך, כמו כן שם תוכל לבחור את שיטת החישוב הרצויה.
מעט למטה תמצאו חלון מטריצה שבו עליכם להזין את איברי המטריצה באמצעות המקלדת. פנל הבקרה של המטריצה ממוקם גם כאן, ומפשט את העבודה עם מטריצות ומכיל את אלמנטי הבקרה הבאים:
- האלמנט הראשון מאפשר להרחיב את חלון המטריצה. זה יכול להיות שימושי במיוחד במקרים שבהם אתה צריך לבצע חישובים עם מטריצות גדולות מאוד שלא מתאימות לחלוטין. אם המטריצה עדיין לא נראית לאחר הרחבת החלון, אתה יכול לשנות את קנה המידה של המטריצה באמצעות הכפתורים + / -;
- האלמנט השני מבצע את הפונקציה של העתקת קלט המטריצה לחוצץ הזיכרון. זה יכול להיות שימושי במקרים בהם אתה משתמש לעתים קרובות באותה מטריצה עבור חישובים, או אם אתה צריך להעביר מטריצות בין פעולות;
- והאלמנט האחרון מחדיר את המטריצה שהועתקה קודם לכן, מה שמאפשר לך להאיץ את תהליך הזנת המטריצה לכמה לחיצות בלבד, במקום לעשות זאת באופן ידני;
ו dále [and further down] תמצאו סרגל כלים המאפשר לך להתאים אישית את המחשבון ולהקל על העבודה איתו. הוא מחולק ויזואלית לשלושה חלקים, כאשר כל אחד מהם אחראי על הפונקציונליות הבאה:
- הראשון מאפשר לך לבחור את תבנית המספרים כאשר מוצג תוצאת הפתרון. כמו כן, כאן אתה יכול לכבות הערות לפתרון הבעיה אם כבר הבנת איך לפתור את הבעיה הזו, ואתה משתמש במחשבון כדי להאיץ או לבדוק את החישובים שלך בעצמך. או שאתה יכול לכבות את הפתרון שלב אחר שלב לחלוטין אם אתה צריך רק את תוצאת הפתרון;
- השני מכיל כפתורים המאפשרים לך לשנות את סוג שדה קלט המטריצה, למחוק את האלמנטים שלה או את כל המטריצה, והכפתור הגדול ביותר עם סימן שווה, שיוביל אותך למסך עם פתרון הבעיה. כל הכפתורים האלה משוכפלים על ידי מקשים במקלדת. כדי לגלות איזה מקש במקלדת צריך ללחוץ, פשוט רחף מעל אחד מהכפתורים ותופיע תצוגת על עם שם המקש. אתה יכול גם להשתמש במקשי החצים במקלדת שלך כדי להזיז את הסמן בין שדות קלט המטריצה;
- והאחרון מאפשר לך לבחור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית לעיגול מספרים שאינם שלמים. כמו כן, כאן תוכל לראות מיד דוגמה איך שברים מעוגלים ייראו;
מהם ערכים עציים של מטריצה?
הגדרת ערכים עציים קשורה קשר הדוק לווקטורים עציים. ווקטורים עציים הם ווקטורים שהכיוונים שלהם לא משתנים על ידי טרנספורמציה לינארית אלא מוכפלים בגורם קבוע, וגורם קבוע זה על פיו הווקטורים העציים מוקטנים במהלך טרנספורמציה הלינארית הוא הערך העצמי.
כיצד למצוא את הערכים העציים של מטריצה?
ראשית, עלינו למצוא את המשוואה האופיינית של המטריצה הנתונה, ולאחר מכן לפתור אותה. השורשים של המשוואה האופיינית של מטריצה נתונה הם גם הערכים העציים של מטריצה זו. ניתן לחשב רק ערכים עציים של מטריצות ריבועיות.
דוגמה למציאת ערכים עציים של מטריצה
רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
כדי למצוא את הערכים העצמיים של המטריצה
A
, יש צורך לעשות את הדברים הבאים:
1)
מצא את המשוואה האופיינית של המטריצה A, עבור זה צריך לעשות את הדברים הבאים: צור מטריצה חדשה (A - λI) על ידי חיסור λ מכל איברי האלכסון הראשי של המטריצה A;
מצא את הדטרמיננטה של המטריצה A - λI;
השווה את הדטרמיננטה של המטריצה A - λI לאפס;
2)
פתור את המשוואה האופיינית של המטריצה A;3)
השורשים של המשוואה האופיינית של המטריצה A הם גם הערכים העצמיים שלה;2
Form A − λ·IA - λI
צור את המטריצה
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
עכשיו צריך למצוא את הדטרמיננטה של מטריצה זו;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
משוואה אופייניתמצאנו את הדטרמיננטה הבאה של המטריצה
A - λI
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
השווה דטרמיננטה זו לאפס וקבל את המשוואה האופיינית של המטריצה
A
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
עכשיו נוכל לפתור משוואה זו והשורשים שלה יתנו לנו את הערכים העצמיים של המטריצה
A
;
5
פתרון המשוואה האופייניתכתוב את המשוואה הראשונית שצריך למצוא את השורשים שלה:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
כפי שאנו יכולים לראות מהמשוואה, החזקה המקסימלית של המשתנה היא
4
, כלומר יש לנו משוואה מהסוג הבא:
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
כדי לפתור את המשוואה הזו, נוכל להשתמש בשיטת פרארי, הכוללת הבאת המשוואה הראשונית לצורה רביעית מדוכאת;
צורה רביעית מדוכאת פירושה הסרה מהמשוואה
λ
3
0
ויש לה את הצורה הבאה:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
גם אם
a
אינו שווה ל-
1
, אז לפני הבאת המשוואה לצורה רביעית מדוכאת, יש לחלק את כל מקדמי המשוואה ב-
a
ולפני זה לשמור את הערכים של
a
ו-
b
במשתנים
aOrigin
ו-
bOrigin
, כיוון שבהמשך נצטרך ערכים אלה כדי לפתור את המשוואה:
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
בהמשך, על פי שיטת פרארי, יש למצוא את המשוואה המעוקבת הבאה השקולה למשוואה של צורה רביעית מדוכאת:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
עכשיו צריך לפתור את משוואת המעוקבת שהתקבלה, למשל, בשיטת קרדאנו;
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
הם השורשים של המשוואה המעוקבת;
לבסוף נוכל למצוא את השורשים
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
של המשוואה הראשונית:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
זהו נוסחה כללית עבור
y
0
1
> 0
ו
y
0
3
> 0
, מקרים פרטיים של הנוסחה מתוארים להלן;
6
מקרים פרטיים של הנוסחהy
0
1
> 0
ו
y
0
2
= 0
ו
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
ו
y
0
2
> 0
ו
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
ו
y
0
2
> 0
ו
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
במקרים הבאים תהיה למשוואה שורשים צמודים מרוכבים לא-ממשיים;
אם
y
0
2
ו
y
0
3
הם מספרים מרוכבים, או
y
0
2
< 0
ו
y
0
3
< 0
:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
ו
y
0
2
< 0
ו
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
לכל מקרה:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
צורה רביעית מדוכאתחלק כל מקדם ב-a:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
עכשיו נוכל למצוא את המקדמים של משוואת הצורה הרביעית המדוכאת:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
צורה רביעית מדוכאת
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
משוואה מעוקבתm
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
משוואה מעוקבת
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
פתור את המשוואה הזו בשיטת קרדאנו:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
שורשיםP
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
גודל4×4