הופכי של מטריצה מחשבון

תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  אודות מחשבון ל invers של מטריצה

מחשבון ל invers של מטריצה מקוון זה פועל באמצעות Cofactor, Gauss-Jordan, חיסול גאוסי, מונטנט (אלגוריתם Bareiss) עם תיאור פתרונות שלם, מפורט, שלב אחר שלב, המבצע פעולות עם מטריצות בגודל עד 99x99 עם איברי מטריצה מסוג זה: מספרים עשרוניים, שברים, מספרים מרוכבים, משתנים.

כדי להתחיל את החישוב, עליך תחילה להזין את גודל המטריצה בשדה הקלט שניתן למצוא בחלק העליון ביותר של המסך, כמו כן שם תוכל לבחור את שיטת החישוב הרצויה.

מעט למטה תמצאו חלון מטריצה שבו עליכם להזין את איברי המטריצה באמצעות המקלדת. פנל הבקרה של המטריצה ממוקם גם כאן, ומפשט את העבודה עם מטריצות ומכיל את אלמנטי הבקרה הבאים:

  • האלמנט הראשון מאפשר להרחיב את חלון המטריצה. זה יכול להיות שימושי במיוחד במקרים שבהם אתה צריך לבצע חישובים עם מטריצות גדולות מאוד שלא מתאימות לחלוטין. אם המטריצה עדיין לא נראית לאחר הרחבת החלון, אתה יכול לשנות את קנה המידה של המטריצה באמצעות הכפתורים + / -;
  • האלמנט השני מבצע את הפונקציה של העתקת קלט המטריצה לחוצץ הזיכרון. זה יכול להיות שימושי במקרים בהם אתה משתמש לעתים קרובות באותה מטריצה עבור חישובים, או אם אתה צריך להעביר מטריצות בין פעולות;
  • והאלמנט האחרון מחדיר את המטריצה שהועתקה קודם לכן, מה שמאפשר לך להאיץ את תהליך הזנת המטריצה לכמה לחיצות בלבד, במקום לעשות זאת באופן ידני;

ו dále [and further down] תמצאו סרגל כלים המאפשר לך להתאים אישית את המחשבון ולהקל על העבודה איתו. הוא מחולק ויזואלית לשלושה חלקים, כאשר כל אחד מהם אחראי על הפונקציונליות הבאה:

  • הראשון מאפשר לך לבחור את תבנית המספרים כאשר מוצג תוצאת הפתרון. כמו כן, כאן אתה יכול לכבות הערות לפתרון הבעיה אם כבר הבנת איך לפתור את הבעיה הזו, ואתה משתמש במחשבון כדי להאיץ או לבדוק את החישובים שלך בעצמך. או שאתה יכול לכבות את הפתרון שלב אחר שלב לחלוטין אם אתה צריך רק את תוצאת הפתרון;
  • השני מכיל כפתורים המאפשרים לך לשנות את סוג שדה קלט המטריצה, למחוק את האלמנטים שלה או את כל המטריצה, והכפתור הגדול ביותר עם סימן שווה, שיוביל אותך למסך עם פתרון הבעיה. כל הכפתורים האלה משוכפלים על ידי מקשים במקלדת. כדי לגלות איזה מקש במקלדת צריך ללחוץ, פשוט רחף מעל אחד מהכפתורים ותופיע תצוגת על עם שם המקש. אתה יכול גם להשתמש במקשי החצים במקלדת שלך כדי להזיז את הסמן בין שדות קלט המטריצה;
  • והאחרון מאפשר לך לבחור את מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית לעיגול מספרים שאינם שלמים. כמו כן, כאן תוכל לראות מיד דוגמה איך שברים מעוגלים ייראו;

  מהי ההופכי של מטריצה (חזקת -1 של מטריצה)?

אם נחלק כל מספר באחד, נקבל את ההופכי שלו, שהוא ההופכי של המספר הזה, ואם נכפיל מספר זה בהופכי שלו, נקבל אחד. כמו שיש למספרים רגילים הופכי, כך גם מטריצות ריבועיות יכולות להיות בעלות מטריצה הפיכה אם הדטרמיננטה שלהן אינה שווה לאפס, אחרת מטריצות אלה נחשבות סינגולריות ובלתי אפשרי למצוא עבורן מטריצה הפיכה. ואם נכפיל את המטריצה במטריצה ההפוכה שלה, נקבל כתוצאה מטריצת יחידה. מטריצת יחידה היא מטריצה שמתנהגת עם מטריצות אחרות בצורה דומה להתנהגות המספר אחד עם מספרים אחרים, כאשר נכפיל כל מטריצה במטריצת היחידה, נקבל כתוצאה את אותה המטריצה. במטריצת היחידה על האלכסון הראשי, איברי האלכסון שווים לאחד, וכל שאר האברים שווים לאפס.

  כיצד למצוא את ההופכי של מטריצה באמצעות Gauss-Jordan?

כדי למצוא את ההופכי של מטריצה באמצעות שיטת Gauss-Jordan, נוכל להוסיף מימין למטריצה מטריצת יחידה בגודל זהה. לאחר מכן, אם נפעיל את שיטת Gauss-Jordan על מטריצה כזו כך שבצד שמאל תיווצר מטריצת יחידה, אז מימין נקבל את ההופכי.

  דוגמה לחישוב הופכי של מטריצה

רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
2
1
1
1
3
0
1
2
0
כדי למצוא את המטריצה ההפוכה של המטריצה
A
, נוכל להוסיף מימין לה מטריצת יחידה באותו גודל;
לאחר מכן, בעזרת השיטה
גאוס-ז'ורדן
, אנו ממירים את המטריצה כך שהצד השמאלי הופך למטריצת יחידה, ואז בצד הימני נקבל את המטריצה ההפוכה של המטריצה
A
;
רשום את המטריצה המורחבת (הוספת מטריצת היחידה מימין למטריצה
A
):
2
1
1
1
3
0
1
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
איטרציה 1
חלק את שורה
1
ב-
2
;
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
a
0
1,1
=
2
2
=
1
;
a
0
1,2
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,3
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,4
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,5
=
0
2
=
0
;
a
0
1,6
=
0
2
=
0
;
הסתר תיאור
השג אפסים בעמודה
1
;
האיבר עם אינדקסים
1,1
הופך לאיבר הפיבוט;
השורה המכילה את איבר הפיבוט נשארת ללא שינוי;
כל שאר איברי המטריצה נמצאים בעזרת שיטת הריבוע היחסית לאיבר הפיבוט:
אפס את העמודה המכילה את איבר הפיבוט:
1
0
0
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
a
0
2,2
=
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
3
*
1
- (
1
*
1
2
) =
2
1
2
;
a
0
2,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
2
*
1
- (
1
*
1
2
) =
1
1
2
;
a
0
2,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
2,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,6
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,2
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,6
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
הסתר תיאור
4
איטרציה 2
חלק את שורה
2
ב-
2
1
2
;
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
a
0
2,2
=
2
1
2
2
1
2
=
1
;
a
0
2,3
=
1
1
2
2
1
2
=
3
5
;
a
0
2,4
=
-
1
2
2
1
2
=
-
1
5
;
a
0
2,5
=
1
2
1
2
=
2
5
;
a
0
2,6
=
0
2
1
2
=
0
;
הסתר תיאור
השג אפסים בעמודה
2
;
האיבר עם אינדקסים
2,2
הופך לאיבר הפיבוט;
השורה המכילה את איבר הפיבוט נשארת ללא שינוי;
כל שאר איברי המטריצה נמצאים בעזרת שיטת הריבוע היחסית לאיבר הפיבוט:
אפס את העמודה המכילה את איבר הפיבוט:
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
a
0
1,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
3
5
) =
1
5
;
a
0
1,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
-
1
5
) =
3
5
;
a
0
1,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
1
2
*
2
5
) =
-
1
5
;
a
0
1,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,6
) =
0
*
1
- (
1
2
*
0
) =
0
;
a
0
3,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
3
5
) =
-
1
5
;
a
0
3,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-
1
5
) =
-
3
5
;
a
0
3,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
-
1
2
*
2
5
) =
1
5
;
a
0
3,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,6
) =
1
*
1
- (
-
1
2
*
0
) =
1
;
הסתר תיאור
5
איטרציה 3
חלק את שורה
3
ב-
-
1
5
;
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
a
0
3,3
=
-
1
5
-
1
5
=
1
;
a
0
3,4
=
-
3
5
-
1
5
=
3
;
a
0
3,5
=
1
5
-
1
5
=
-1
;
a
0
3,6
=
1
-
1
5
=
-5
;
הסתר תיאור
השג אפסים בעמודה
3
;
האיבר עם אינדקסים
3,3
הופך לאיבר הפיבוט;
השורה המכילה את איבר הפיבוט נשארת ללא שינוי;
כל שאר איברי המטריצה נמצאים בעזרת שיטת הריבוע היחסית לאיבר הפיבוט:
אפס את העמודה המכילה את איבר הפיבוט:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
a
0
1,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
3
5
*
1
- (
1
5
*
3
) =
0
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
5
*
1
- (
1
5
*
-1
) =
0
;
a
0
1,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
1
5
*
-5
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-
1
5
*
1
- (
3
5
*
3
) =
-2
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
2
5
*
1
- (
3
5
*
-1
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
1
-1
1
0
-5
=
a
0
2,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
3
5
*
-5
) =
3
;
הסתר תיאור
Answer
B = A⁻¹
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
גודל3×3שיטהגאוס-ז'ורדן

  שאלות נפוצות

כיצד מוצאים את ההופכי של מטריצה?

שתי שיטות נפוצות הן חיסול גאוס-ז'ורדן — מרחיבים את המטריצה עם מטריצת היחידה ומבצעים צמצום שורות עד שהבלוק השמאלי הופך למטריצת היחידה — ושיטת המטריצה המצורפת, המחלקת את השחלוף של מטריצת הקופקטורים בדטרמיננטה.

לאילו מטריצות יש הופכי?

רק למטריצות ריבועיות עם דטרמיננטה שונה מאפס (מטריצות לא סינגולריות) יש הופכי. אם הדטרמיננטה שווה ל-0, למטריצה אין הופכי.

מהו ההופכי של מטריצה 2×2?

עבור A = [[a, b], [c, d]], ההופכי הוא 1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]], בתנאי שהדטרמיננטה ad − bc אינה שווה לאפס.

האם ההופכי של מטריצה הוא יחיד?

כן. אם מטריצה הפיכה, ההופכי שלה יחיד ומקיים A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, כאשר I היא מטריצת היחידה.

  שיטות חישוב

  מחשבונים קשורים

  מקורות

Google PlayApp Store