תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד למצוא הופכי בעזרת שיטת מונטנט
בצעו אלימינציה שומרת-שלם בסגנון בארייס על המטריצה המוגברת [A|I]. כל שלב אלימינציה מחלק בפיבוט הקודם בדיוק, וכך שומרים ערכים ביניים כמספרים שלמים. לאחר הפחתה מלאה, ההופכי מופיע בצד הימני.
מונטנט (בארייס) הופכי - דוגמה פתורה (4×4)
רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
כדי למצוא את המטריצה ההפוכה של המטריצה
A
, נוכל להוסיף מימין לה מטריצת יחידה באותו גודל;
לאחר מכן, בעזרת השיטה
מונטנט (אלגוריתם Bareiss)
, אנו ממירים את המטריצה כך שהצד השמאלי הופך למטריצת יחידה, ואז בצד הימני נקבל את המטריצה ההפוכה של המטריצה
A
;
רשום את המטריצה המורחבת (הוספת מטריצת היחידה מימין למטריצה
A
):
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
איטרציה 1A0
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
באיטרציה הראשונה, איבר הפיבוט הקודם תמיד שווה ל-1:
p0
=
1
;
איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A0
) עם אינדקסים
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
4
;
חשב את המטריצה הבאה (
A1
) על סמך המטריצה הקודמת (
A0
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;רשום את המטריצה הראשונית
A1
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A1
=
4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
הוא איבר הפיבוט הקודםp1
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa0
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa1
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1
=
4
0
0
0
1
19
4
-1
0
4
16
4
1
-1
4
11
1
-1
0
-1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
4
איטרציה 2איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A1
) עם אינדקסים
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
19
;
חשב את המטריצה הבאה (
A2
) על סמך המטריצה הקודמת (
A1
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p2;רשום את המטריצה הראשונית
A2
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
×××
4
×××
-1
×××
-1
×××
4
×××
0
×××
0
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
הוא איבר הפיבוט הקודםp2
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa1
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa2
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4} × {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
-1
4
72
20
5
-1
20
52
5
-1
1
-5
-1
4
-4
1
0
0
19
0
0
0
0
19
5
איטרציה 3איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A2
) עם אינדקסים
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
72
;
חשב את המטריצה הבאה (
A3
) על סמך המטריצה הקודמת (
A2
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p3;רשום את המטריצה הראשונית
A3
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
×××
20
×××
1
×××
-4
×××
19
×××
0
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
הוא איבר הפיבוט הקודםp3
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa2
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa3
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4} × {4, 5, 6, 7, 8}
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
20
-8
20
176
19
-4
1
-20
-4
16
-4
8
1
-4
19
-20
0
0
0
72
6
איטרציה 4איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A3
) עם אינדקסים
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
176
;
חשב את המטריצה הבאה (
A4
) על סמך המטריצה הקודמת (
A3
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p4;רשום את המטריצה הראשונית
A4
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
×××
-20
×××
8
×××
-20
×××
72
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
הוא איבר הפיבוט הקודםp4
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa3
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa4
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3} × {5, 6, 7, 8}
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
52
-12
8
-20
-12
40
-12
8
8
-12
52
-20
-20
8
-20
72
7
הופכי של מטריצהחלק כל איבר שונה מאפס של המטריצה ב-
176
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Answer
B = A⁻¹3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
גודל4×4שיטהמונטנט (אלגוריתם Bareiss)