תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד לחשב פירוק QR בעזרת סיבובי גיבנס
בצעו רצף של סיבובי מישור 2×2 כדי לאפס ערכים תחת-אלכסוניים אחד בכל פעם. כל סיבוב גיבנס נקבע על ידי שני הערכים שעליו הוא פועל. המכפלה המצטברת של סיבובים היא Q, והמטריצה המסובבת היא R.
סיבובי גיבנס - דוגמה פתורה (3×3)
רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
פירוק
QR
הוא ייצוג של המטריצה
A
בצורה:
A
=
Q
*
R
;
מטריצה
Q
היא מטריצה אורתונורמלית;
מטריצה
R
היא מטריצה משולשת עליונה;
ניתן להשתמש בסיבובי גיבנס כדי להפוך את כל האלמנטים מתחת לאלכסון הראשי של המטריצה
A
לאפס;
השיטה הזו היא איטרטיבית ובאיטרציה אחת אנו נאפס אלמנט אחד;
באיטרציה האחרונה, כאשר כל האלמנטים מתחת לאלכסון הראשי יהפכו לאפס, נקבל את המטריצה
R
;
במהלך חישוב המטריצה
R
בכל איטרציה, נחשב את המטריצה
G
כדי להפוך את האלמנטים מתחת לאלכסון הראשי לאפס;
אנו יכולים לחשב את המטריצה
Q
על ידי הכפלת כל המטריצות המשוחלפות של
G
;
נאפס את האלמנטים בסדר מלמעלה למטה משמאל לימין;
בכל איטרציה צריך להגדיר את המשתנים הבאים:
a
הוא האלמנט של המטריצה Aₖ₋₁, הממוקם על האלכסון הראשי באותו עמודה כמו האלמנט שאותו אנו רוצים לאפסa
=
a
0
k - 1
0
i,i
;
b
הוא האלמנט של המטריצה Aₖ₋₁ שאותו אנו רוצים לאפסb
=
a
0
k - 1
0
j,i
;
// כאשר
j
הוא מספר ה- שורה שבו ישנו אלמנט שאותו אנו רוצים לאפסi
הוא מספר ה- עמודה שבו ישנו אלמנט שאותו אנו רוצים לאפסk
הוא מספר האיטרציהAₖ₋₁
היא המטריצה שחושבה באיטרציה הקודמתבהמשך, עלינו לחשב את הערכים הבאים:
r
=
a
2
0
+
b
2
0
;
c
=
a
r
;
s
= -
b
r
;
עכשיו אפשר לבנות את המטריצה
G
:
1)
הבסיס של המטריצה G היא מטריצת יחידה בגודל n על n// כאשר
n
הוא מספר השורות של המטריצה A2)
האלמנט מתחת לאינדקס [i,i] שווה ל- cg
0
i,i
=
c
;
3)
האלמנט מתחת לאינדקס [j,j] שווה ל- cg
0
j,j
=
c
;
4)
האלמנט מתחת לאינדקס [j,i] שווה ל- sg
0
j,i
=
s
;
5)
האלמנט מתחת לאינדקס [i,j] שווה ל- -sg
0
i,j
=
-s
;
לאחר בניית המטריצה
G
, נוכל להכפיל אותה במטריצה
A
0
k - 1
משמאל, ונקבל את המטריצה
A
0
k
;
בצעד זה, נאפס את האלמנט מתחת לאינדקס
j,i
;
אנו גם נכפיל את המטריצה
Q
0
k - 1
במטריצה
G
T
0
ונקבל את המטריצה
Q
0
k
;
2
איטרציה 1באיטרציה הראשונה, המטריצה
A
0
0
שווה למטריצה המקורית
A
:
A
0
0
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
כתוב את המטריצה הראשונית
Q
0
0
, השווה למטריצת היחידה:
Q
0
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
i
=
1
;
j
=
2
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
0
0
1,1
=
1
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
0
0
2,1
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
2
0
+
1
2
0
=
1
41
100
;
c
=
a
r
=
1
1
41
100
=
71
100
;
s
= -
b
r
= -
1
1
41
100
=
-
71
100
;
G
=
c
s
0
-s
c
0
0
0
1
=
71
100
-
71
100
0
71
100
71
100
0
0
0
1
;
מטריצה
A
0
1
A
0
1
=
G
0
·
A
0
0
=
71
100
-
71
100
0
71
100
71
100
0
0
0
1
·
1
1
0
1
0
1
0
1
1
=
1
41
100
0
0
71
100
-
71
100
1
71
100
71
100
1
מטריצה
G
T
0
G
T
0
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
מטריצה
Q
0
1
Q
0
1
=
Q
0
0
·
G
T
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
·
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
3
איטרציה 2i
=
2
;
j
=
3
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
1
0
2,2
=
-
71
100
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
1
0
3,2
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
-
71
100
2
0
+
1
2
0
=
1
11
50
;
c
=
a
r
=
-
71
100
1
11
50
=
-
29
50
;
s
= -
b
r
= -
1
1
11
50
=
-
41
50
;
G
=
1
0
0
0
c
s
0
-s
c
=
1
0
0
0
-
29
50
-
41
50
0
41
50
-
29
50
;
מטריצה
A
0
2
A
0
2
=
G
0
·
A
0
1
=
1
0
0
0
-
29
50
-
41
50
0
41
50
-
29
50
·
1
41
100
0
0
71
100
-
71
100
1
71
100
71
100
1
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
מטריצה
G
T
0
G
T
0
=
1
0
0
0
-
29
50
41
50
0
-
41
50
-
29
50
מטריצה
Q
0
2
Q
0
2
=
Q
0
1
·
G
T
0
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
·
1
0
0
0
-
29
50
41
50
0
-
41
50
-
29
50
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
4
מטריצה Q, RQ
=
Q
0
2
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
R
=
A
0
2
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
Answer
A = Q · RQ
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
R
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
גודל3×3שיטהסיבוב גיבנס