Sayı biçimi
Çözüm yorumları
Açıklama olmadan (yalnızca cevap)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Givens dönüşleri ile QR ayrışımını hesaplama
Alt köşegen giriş değerlerini birer birer sıfırlamak için bir dizi 2x2 düzlem dönüşü uygulayın. Her Givens dönüşü üzerinde çalıştığı iki giriş değeri tarafından belirlenir. Dönüşlerin kümülatif çarpımı Q'dur ve dönüştürülen matris R'dir.
Givens dönüşleri - çalışılmış örnek (3×3)
Başlangıç matrisini
A
yazın:
A
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
QR
ayrışımı,
A
matrisinin şu şekilde bir gösterimidir:
A
=
Q
*
R
;
Q
matrisi, ortonormal bir matristir;
R
matrisi, bir üst üçgen matristir;
Givens rotasyonlarını kullanarak
A
matrisinin ana köşegeninin altındaki tüm elemanları sıfır yapabiliriz;
Bu yöntem yinelemeli bir yöntemdir ve bir yinelemede bir elemanı sıfıra dönüştüreceğiz;
Son yinelemede, ana köşegenin altındaki tüm elemanlar sıfıra dönüştürüldüğünde,
R
matrisini elde edeceğiz;
Her yinelemede
R
matrisini hesaplarken, ana köşegenin altındaki elemanları sıfıra dönüştürmek için
G
matrisini hesaplayacağız;
Tüm transpoze edilmiş
G
matrislerini çarparak
Q
matrisini hesaplayabiliriz;
Elemanları sol üst köşeden sağ alt köşeye doğru sırayla sıfırlayacağız;
Her yinelemede aşağıdaki değişkenleri tanımlamamız gerekir:
a
, sıfıra dönüştürmek istediğimiz elemanla aynı sütunda ana köşegende bulunan Aₖ₋₁ matrisinin elemanıdıra
=
a
0
k - 1
0
i,i
;
b
, sıfıra dönüştürmek istediğimiz Aₖ₋₁ matrisinin elemanıdırb
=
a
0
k - 1
0
j,i
;
// burada
j
, sıfıra dönüştürmek istediğimiz bir elemanın bulunduğu satır'in numarasıdıri
, sıfıra dönüştürmek istediğimiz bir elemanın bulunduğu sütun'in numarasıdırk
yineleme numarasıdırAₖ₋₁
, önceki yinelemede hesaplanan matristirSonra, aşağıdaki değerleri hesaplamamız gerekir:
r
=
a
2
0
+
b
2
0
;
c
=
a
r
;
s
= -
b
r
;
Şimdi
G
matrisini oluşturabiliriz:
1)
G matrisinin temeli, n'ye n boyutunda bir birim matristir// burada
n
, A matrisinin satır sayısıdır2)
[i,i] indeksi altındaki eleman c'ye eşittirg
0
i,i
=
c
;
3)
[j,j] indeksi altındaki eleman c'ye eşittirg
0
j,j
=
c
;
4)
[j,i] indeksi altındaki eleman s'ye eşittirg
0
j,i
=
s
;
5)
[i,j] indeksi altındaki eleman -s'ye eşittirg
0
i,j
=
-s
;
G
matrisini oluşturduktan sonra, onu soldan
A
0
k - 1
matrisi ile çarpabiliriz ve
A
0
k
matrisini elde ederiz;
Bu adımda,
j,i
indeksi altındaki elemanı sıfırlayacağız;
Q
0
k - 1
matrisini de
G
T
0
matrisi ile çarpacağız ve
Q
0
k
matrisini elde edeceğiz;
2
Yineleme 1İlk yinelemede,
A
0
0
matrisi orijinal matris
A
'e eşittir:
A
0
0
=
1
1
0
1
0
1
0
1
1
Kimlik matrisine eşit olan ilk matris
Q
0
0
'ı yazın:
Q
0
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
i
=
1
;
j
=
2
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
0
0
1,1
=
1
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
0
0
2,1
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
2
0
+
1
2
0
=
1
41
100
;
c
=
a
r
=
1
1
41
100
=
71
100
;
s
= -
b
r
= -
1
1
41
100
=
-
71
100
;
G
=
c
s
0
-s
c
0
0
0
1
=
71
100
-
71
100
0
71
100
71
100
0
0
0
1
;
Matris
A
0
1
A
0
1
=
G
0
·
A
0
0
=
71
100
-
71
100
0
71
100
71
100
0
0
0
1
·
1
1
0
1
0
1
0
1
1
=
1
41
100
0
0
71
100
-
71
100
1
71
100
71
100
1
Matris
G
T
0
G
T
0
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
Matris
Q
0
1
Q
0
1
=
Q
0
0
·
G
T
0
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
·
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
3
Yineleme 2i
=
2
;
j
=
3
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
1
0
2,2
=
-
71
100
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
1
0
3,2
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
-
71
100
2
0
+
1
2
0
=
1
11
50
;
c
=
a
r
=
-
71
100
1
11
50
=
-
29
50
;
s
= -
b
r
= -
1
1
11
50
=
-
41
50
;
G
=
1
0
0
0
c
s
0
-s
c
=
1
0
0
0
-
29
50
-
41
50
0
41
50
-
29
50
;
Matris
A
0
2
A
0
2
=
G
0
·
A
0
1
=
1
0
0
0
-
29
50
-
41
50
0
41
50
-
29
50
·
1
41
100
0
0
71
100
-
71
100
1
71
100
71
100
1
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
Matris
G
T
0
G
T
0
=
1
0
0
0
-
29
50
41
50
0
-
41
50
-
29
50
Matris
Q
0
2
Q
0
2
=
Q
0
1
·
G
T
0
=
71
100
71
100
0
-
71
100
71
100
0
0
0
1
·
1
0
0
0
-
29
50
41
50
0
-
41
50
-
29
50
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
4
Matris Q, RQ
=
Q
0
2
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
R
=
A
0
2
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
Answer
A = Q · RQ
=
71
100
71
100
0
41
100
-
41
100
41
50
29
50
-
29
50
-
29
50
R
=
1
41
100
0
0
71
100
1
11
50
0
71
100
41
100
-1
3
20
Boyut3×3YöntemGivens rotasyonu