Sayı biçimi
Çözüm yorumları
Açıklama olmadan (yalnızca cevap)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Householder yansımaları ile QR ayrışımını hesaplama
Sütun bazında alt köşegen giriş değerlerini sıfırlayan yansıtıcılar oluşturun. Her yansıtıcı indirgenen sütun vektörü tarafından belirlenir; yansıtıcıların çarpımı Q (ortogonal) verir ve yansıtılan matris R (üst üçgen) olur.
Householder yansımaları - çalışılmış örnek (2×2)
Başlangıç matrisini
A
yazın:
A
=
3
4
1
2
QR
ayrışımı,
A
matrisinin şu şekilde bir gösterimidir:
A
=
Q
*
R
;
Q
matrisi, ortonormal bir matristir;
R
matrisi, bir üst üçgen matristir;
QR
ayrışımını Householder yansımaları yöntemini kullanarak gerçekleştirmek için şunları yapmak gerekir:
1)
A matrisinin her bir sütunu a için Householder yansıma vektörü v hesaplayın2)
A matrisinin her bir sütunu a için Householder matrisini H hesaplayacağız3)
Householder dönüşümünü A matrisinin tüm sütunlarına uyguladıktan sonra, ortaya çıkan dönüştürülmüş matris A' üst üçgen matris R olacaktır4)
Ortogonal matris Q, tüm Householder matrisleri H çarpılarak elde edilirQR
ayrışımını Householder yansıma yöntemini kullanarak gerçekleştirmek için,
A
matrisinin her bir sütunu
a
için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
1)
a sütununun normunu ‖a‖ hesaplayın2)
a sütununun işaretini (s) tanımlayıns
= -
sgn
(
a
[
i
])
;
// burada
sgn(a)
= 1 a[i] ≥ 0 ise ve değilse -1a[i]
, a sütununun i'inci öğesidiri
sütun numarasıdır3)
Householder yansıma vektörünü hesaplayınv
=
a
-
s
*
a
*
e
0
i
;
// burada
eᵢ
, i'inci öğenin 1 olduğu ve diğer tüm öğelerin 0 olduğu standart baz vektörüdüri
sütun numarasıdır4)
Householder yansıma vektörünü normalleştirinv_norm
=
v
v
;
5)
Householder matrisini hesaplayınH
0
i
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
;
6)
Householder dönüşümünü matrisine uygulayınA'
0
i
=
H
0
i
*
A'
0
i - 1
;
7)
matrisini hesaplayınQ
0
i
=
Q
0
i - 1
*
H
0
i
;
2
Yineleme 1İlk yinelemede,
A'
0
0
matrisi orijinal matris
A
'e eşittir:
A'
0
0
=
3
4
1
2
Kimlik matrisine eşit olan ilk matris
Q
0
0
'ı yazın:
Q
0
0
=
1
0
0
1
a
vektörü,
A'
0
0
matrisinin
1
'inci sütununa eşittir:
a
=
3
4
a
:
sütununun normunu
a
hesaplayın
a
=
5
;
a
:
sütununun işaretini (
s
) tanımlayın
s
= -
sgn
(
a
[
1
])
= -
sgn
-(
3
) = -(
1
) =
-1
;
1
'ıncı standart baz vektörünü yazın:
e
0
1
=
1
0
Householder yansıma vektörünü
:
hesaplayın
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
1
=
3
4
-
-1
*
5
*
1
0
=
3
4
-
-5
0
=
8
4
;
Householder yansıma vektörünü normalleştirin
:
v_norm
=
v
v
=
89
100
9
20
Householder yansıma vektörünü
:
hesaplayın
H
0
1
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
1
- 2 *
89
100
9
20
*
89
100
9
20
=
=
89
100
9
20
·
89
100
9
20
=
4
5
2
5
2
5
1
5
=
1
0
0
1
- 2 *
4
5
2
5
2
5
1
5
=
=
4
5
2
5
2
5
1
5
·
2
=
4
5
*
2
2
5
*
2
2
5
*
2
1
5
*
2
=
1
3
5
4
5
4
5
2
5
=
1
0
0
1
−
1
3
5
4
5
4
5
2
5
=
1
-
1
3
5
0
-
4
5
0
-
4
5
1
-
2
5
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
Householder dönüşümünü
A'
0
1
:
matrisine uygulayın
A'
0
1
=
H
0
1
·
A'
0
0
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
·
3
4
1
2
=
-5
0
-2
1
5
2
5
matrisini hesaplayın
Q
0
1
:
Q
0
1
=
Q
0
0
·
H
0
1
=
1
0
0
1
·
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
3
Yineleme 2a
vektörü,
A'
0
1
matrisinin
2
'inci sütununa eşittir:
a
=
0
2
5
a
:
sütununun normunu
a
hesaplayın
a
=
2
5
;
a
:
sütununun işaretini (
s
) tanımlayın
s
= -
sgn
(
a
[
2
])
= -
sgn
-(
2
5
) = -(
1
) =
-1
;
2
'ıncı standart baz vektörünü yazın:
e
0
2
=
0
1
Householder yansıma vektörünü
:
hesaplayın
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
2
=
0
2
5
-
-1
*
2
5
*
0
1
=
0
2
5
-
0
-
2
5
=
0
4
5
;
Householder yansıma vektörünü normalleştirin
:
v_norm
=
v
v
=
0
1
Householder yansıma vektörünü
:
hesaplayın
H
0
2
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
1
- 2 *
0
1
*
0
1
=
=
0
1
·
0
1
=
0
0
0
1
=
1
0
0
1
- 2 *
0
0
0
1
=
=
0
0
0
1
·
2
=
0
*
2
0
*
2
0
*
2
1
*
2
=
0
0
0
2
=
1
0
0
1
−
0
0
0
2
=
1
-
0
0
-
0
0
-
0
1
-
2
=
1
0
0
-1
Householder dönüşümünü
A'
0
2
:
matrisine uygulayın
A'
0
2
=
H
0
2
·
A'
0
1
=
1
0
0
-1
·
-5
0
-2
1
5
2
5
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
matrisini hesaplayın
Q
0
2
:
Q
0
2
=
Q
0
1
·
H
0
2
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
·
1
0
0
-1
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
4
Matris Q, RQ
=
Q
0
2
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
R
=
A'
0
2
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
Answer
A = Q · RQ
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
R
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
Boyut2×2YöntemHouseholder yansımaları