Калькулятор рангу матриці 2×2

  Три можливі ранги матриці 2×2

Ранг матриці — це кількість лінійно незалежних рядків, яка завжди дорівнює кількості лінійно незалежних стовпців. У матриці 2×2 лише три можливості.

Ранг 0: усі елементи нульові. Лише нульова матриця має ранг 0.

Ранг 1: матриця не нульова, але один рядок кратний іншому. Це саме той випадок, коли визначник a·d − b·c дорівнює нулю.

Ранг 2: визначник не дорівнює нулю. Рядки незалежні, матриця невироджена, і кажуть, що вона має повний ранг.

Отже для матриці 2×2 питання вирішує одне віднімання: обчисліть a·d − b·c. Якщо не нуль — ранг 2. Якщо нуль — ранг 1, окрім випадку, коли всі чотири елементи нульові.

  Розібраний приклад

Візьмемо матрицю з рядками (2, 4) і (1, 2). Визначник 2·2 − 4·1 = 0, отже ранг менший за 2. Матриця не нульова, тому ранг дорівнює 1. Зведення рядків показує те саме: віднявши від рядка 2 половину рядка 1, отримуємо рядки (2, 4) і (0, 0) — один ненульовий рядок.

Змінимо один елемент і візьмемо рядки (2, 4) і (1, 3). Тепер визначник 2·3 − 4·1 = 2, не нуль, отже ранг 2. Віднявши від рядка 2 половину рядка 1, отримаємо (0, 1), і обидва рядки ненульові.

  Що означає ранг

Для системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими ранг 2 матриці коефіцієнтів означає, що дві прямі перетинаються рівно в одній точці. Ранг 1 означає, що прямі паралельні або збігаються, тож розв’язків немає або їх нескінченно багато.

Як перетворення площини матриця рангу 2 відображає площину на всю площину, матриця рангу 1 стискає її на пряму, а нульова матриця переводить усе в початок координат.

Калькулятор вище налаштований на 2×2 і показує перетворення рядків, якими він доходить до відповіді.