Калькулятор рангу матриці 3×3

  Як знайти ранг матриці 3×3

Ранг матриці 3×3 дорівнює 0, 1, 2 або 3. Найнадійніший спосіб його знайти — зведення рядків: елементарними перетвореннями приведіть матрицю до ступінчастого вигляду і порахуйте ненульові рядки. Перетворення рядків не змінюють рангу, тому ця кількість і є рангом початкової матриці.

Визначник дає швидку першу перевірку. Якщо det(A) не нуль, ранг дорівнює 3 і все. Якщо det(A) нуль, ранг не більший за 2, і ще треба розрізнити 2, 1 і 0. Ранг дорівнює 2, якщо якийсь блок 2×2 усередині матриці має ненульовий визначник, і 1, якщо кожен рядок кратний одному ненульовому рядку.

  Розібраний приклад

Візьмемо матрицю з рядками (1, 2, 3), (2, 4, 6) та (1, 0, 1).

Віднімемо від рядка 2 два рядки 1: результат (0, 0, 0). Віднімемо від рядка 3 рядок 1: результат (0, −2, −2).

Переставимо рядки 2 і 3, щоб нульовий рядок був унизу. Ступінчастий вигляд має рядки (1, 2, 3), (0, −2, −2) та (0, 0, 0). Два рядки ненульові, отже ранг дорівнює 2.

Мінори це підтверджують. Визначник усієї матриці дорівнює 0, бо рядок 2 удвічі більший за рядок 1. Блок 2×2 із рядків 1 і 3 та стовпців 1 і 2 має визначник 1·0 − 2·1 = −2, не нуль, отже ранг рівно 2.

  Що означає кожен ранг

Ранг 3 означає, що матриця невироджена, а система трьох рівнянь із такою матрицею коефіцієнтів має рівно один розв’язок. Ранг 2 означає, що три рядки лежать в одній площині через початок координат, ранг 1 — що вони лежать на одній прямій, а ранг 0 буває лише у нульової матриці.

Різниця 3 − ранг — це кількість вільних змінних в однорідній системі Ax = 0. Це теорема про ранг і дефект.

Калькулятор вище налаштований на 3×3. За замовчуванням він використовує елементарні перетворення рядків; у меню методу можна перемкнутися на метод обвідних мінорів і побачити шлях через визначники.