Розкладання по:
0
0
0
0
Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Як знайти визначник методом Монтанте (алгоритм Барейса)
Метод Монтанте (також відомий як алгоритм Барейса) — це варіант елімінації Гауса, який зберігає цілі числа. На кожному кроці ведучий елемент попередної ітерації ділить нові елементи точно, зберігаючи кожне проміжне значення цілим числом. Визначник — це остаточний ведучий елемент.
Розв'язаний приклад методу Монтанте (Барейса) (5×5)
Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Приведемо матрицю
A
до ступінчастого виду методом Монтанте (алгоритм Барейса), і тоді останній елемент на головній діагоналі дорівнюватиме визначнику матриці
A
;
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a – елемент матриці A;p
p - поточний опорний елемент;2
Ітерація 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
На першій ітерації попередній опорний елемент завжди дорівнює 1:
p0
=
1
;
Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A0
) з індексами
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Обчислимо наступну матрицю (
A1
) з урахуванням попередньої матриці (
A0
);
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;
Запишемо вихідну матрицю
A1
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A1
=
3
0
0
0
0
1
x
x
x
x
2
x
x
x
x
0
x
x
x
x
1
x
x
x
x
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
;
Де:
p0
- попередній опорний елемент;
p1
- поточний опорний елемент;
a0
- елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітерації;
a1
- елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітерації;
i
- номер рядка;
j
- номер стовпця;
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
a1
0
2,2
=
a0
0
2,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
2,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
a1
0
2,3
=
a0
0
2,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
2,1
p0
=
0
*
3
-
2
*
1
1
=
-2
;
a1
0
2,4
=
a0
0
2,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
2,1
p0
=
2
*
3
-
0
*
1
1
=
6
;
a1
0
2,5
=
a0
0
2,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
2,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
1
1
=
2
;
a1
0
3,2
=
a0
0
3,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
2
1
=
1
;
a1
0
3,3
=
a0
0
3,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
3,1
p0
=
5
*
3
-
2
*
2
1
=
11
;
a1
0
3,4
=
a0
0
3,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
2
1
=
3
;
a1
0
3,5
=
a0
0
3,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
3,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
2
1
=
-2
;
a1
0
4,2
=
a0
0
4,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
4,3
=
a0
0
4,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
4,1
p0
=
1
*
3
-
2
*
0
1
=
3
;
a1
0
4,4
=
a0
0
4,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
4,1
p0
=
3
*
3
-
0
*
0
1
=
9
;
a1
0
4,5
=
a0
0
4,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
5,2
=
a0
0
5,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
5,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
1
1
=
-1
;
a1
0
5,3
=
a0
0
5,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
5,1
p0
=
2
*
3
-
2
*
1
1
=
4
;
a1
0
5,4
=
a0
0
5,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
5,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
1
1
=
3
;
a1
0
5,5
=
a0
0
5,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
5,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
Приховати опис
3
Ітерація 2Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A1
) з індексами
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Обчислимо наступну матрицю (
A2
) з урахуванням попередньої матриці (
A1
);
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;
Замінюємо усі попередні опорні елементи на
p2
;
Запишемо вихідну матрицю
A2
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
x
-2
x
x
x
x
6
x
x
x
x
2
x
x
x
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
;
Де:
p1
- попередній опорний елемент;
p2
- поточний опорний елемент;
a1
- елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітерації;
a2
- елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітерації;
i
- номер рядка;
j
- номер стовпця;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
a2
0
1,3
=
a1
0
1,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
1,2
p1
=
2
*
11
-
-2
*
1
3
=
8
;
a2
0
1,4
=
a1
0
1,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
1,2
p1
=
0
*
11
-
6
*
1
3
=
-2
;
a2
0
1,5
=
a1
0
1,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
1,2
p1
=
1
*
11
-
2
*
1
3
=
3
;
a2
0
3,3
=
a1
0
3,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
3,2
p1
=
11
*
11
-
-2
*
1
3
=
41
;
a2
0
3,4
=
a1
0
3,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
3,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
1
3
=
9
;
a2
0
3,5
=
a1
0
3,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
3,2
p1
=
-2
*
11
-
2
*
1
3
=
-8
;
a2
0
4,3
=
a1
0
4,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
4,2
p1
=
3
*
11
-
-2
*
6
3
=
15
;
a2
0
4,4
=
a1
0
4,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
4,2
p1
=
9
*
11
-
6
*
6
3
=
21
;
a2
0
4,5
=
a1
0
4,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
4,2
p1
=
6
*
11
-
2
*
6
3
=
18
;
a2
0
5,3
=
a1
0
5,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
5,2
p1
=
4
*
11
-
-2
*
-1
3
=
14
;
a2
0
5,4
=
a1
0
5,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
5,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
-1
3
=
13
;
a2
0
5,5
=
a1
0
5,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
5,2
p1
=
11
*
11
-
2
*
-1
3
=
41
;
Приховати опис
4
Ітерація 3Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A2
) з індексами
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Обчислимо наступну матрицю (
A3
) з урахуванням попередньої матриці (
A2
);
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;
Замінюємо усі попередні опорні елементи на
p3
;
Запишемо вихідну матрицю
A3
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
x
x
9
x
x
x
x
-8
x
x
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
;
Де:
p2
- попередній опорний елемент;
p3
- поточний опорний елемент;
a2
- елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітерації;
a3
- елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітерації;
i
- номер рядка;
j
- номер стовпця;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
a3
0
1,4
=
a2
0
1,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
1,3
p2
=
-2
*
41
-
9
*
8
11
=
-14
;
a3
0
1,5
=
a2
0
1,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
1,3
p2
=
3
*
41
-
-8
*
8
11
=
17
;
a3
0
2,4
=
a2
0
2,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
2,3
p2
=
6
*
41
-
9
*
-2
11
=
24
;
a3
0
2,5
=
a2
0
2,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
2,3
p2
=
2
*
41
-
-8
*
-2
11
=
6
;
a3
0
4,4
=
a2
0
4,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
4,3
p2
=
21
*
41
-
9
*
15
11
=
66
;
a3
0
4,5
=
a2
0
4,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
4,3
p2
=
18
*
41
-
-8
*
15
11
=
78
;
a3
0
5,4
=
a2
0
5,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
5,3
p2
=
13
*
41
-
9
*
14
11
=
37
;
a3
0
5,5
=
a2
0
5,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
5,3
p2
=
41
*
41
-
-8
*
14
11
=
163
;
Приховати опис
5
Ітерація 4Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A3
) з індексами
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Обчислимо наступну матрицю (
A4
) з урахуванням попередньої матриці (
A3
);
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;
Замінюємо усі попередні опорні елементи на
p4
;
Запишемо вихідну матрицю
A4
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
x
x
x
78
x
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
;
Де:
p3
- попередній опорний елемент;
p4
- поточний опорний елемент;
a3
- елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітерації;
a4
- елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітерації;
i
- номер рядка;
j
- номер стовпця;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
a4
0
1,5
=
a3
0
1,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
1,4
p3
=
17
*
66
-
78
*
-14
41
=
54
;
a4
0
2,5
=
a3
0
2,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
2,4
p3
=
6
*
66
-
78
*
24
41
=
-36
;
a4
0
3,5
=
a3
0
3,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
3,4
p3
=
-8
*
66
-
78
*
9
41
=
-30
;
a4
0
5,5
=
a3
0
5,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
5,4
p3
=
163
*
66
-
78
*
37
41
=
192
;
Приховати опис
6
Ітерація 5Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A4
) з індексами
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Обчислимо наступну матрицю (
A5
) з урахуванням попередньої матриці (
A4
);
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;
Замінюємо усі попередні опорні елементи на
p5
;
Запишемо вихідну матрицю
A5
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Як бачимо, невідомих елементів немає, отже, обчислення матриці
A5
вже завершено;
7
Визначник матриціdet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
Розмір5×5МетодМонтанте (алгоритм Барейса)