Розкладання по:
Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Як знайти визначник методом Монтанте (алгоритм Барейса)
Метод Монтанте (також відомий як алгоритм Барейса) — це варіант елімінації Гауса, який зберігає цілі числа. На кожному кроці ведучий елемент попередної ітерації ділить нові елементи точно, зберігаючи кожне проміжне значення цілим числом. Визначник — це остаточний ведучий елемент.
Розв'язаний приклад методу Монтанте (Барейса) (5×5)
Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Приведемо матрицю
A
до ступінчастого виду методом Монтанте (алгоритм Барейса), і тоді останній елемент на головній діагоналі дорівнюватиме визначнику матриці
A
;
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a – елемент матриці A;p
p - поточний опорний елемент;2
Ітерація 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
На першій ітерації попередній опорний елемент завжди дорівнює 1:
p0
=
1
;
Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A0
) з індексами
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Обчислимо наступну матрицю (
A1
) з урахуванням попередньої матриці (
A0
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;Запишемо вихідну матрицю
A1
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A1
=
3
0
0
0
0
1
2
0
1
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
попередній опорний елементp1
поточний опорний елементa0
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa1
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
3
Ітерація 2Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A1
) з індексами
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Обчислимо наступну матрицю (
A2
) з урахуванням попередньої матриці (
A1
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p2;Запишемо вихідну матрицю
A2
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
××××
-2
××××
6
××××
2
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
попередній опорний елементp2
поточний опорний елементa1
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa2
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
4
Ітерація 3Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A2
) з індексами
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Обчислимо наступну матрицю (
A3
) з урахуванням попередньої матриці (
A2
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p3;Запишемо вихідну матрицю
A3
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
××××
9
××××
-8
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
попередній опорний елементp3
поточний опорний елементa2
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa3
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
5
Ітерація 4Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A3
) з індексами
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Обчислимо наступну матрицю (
A4
) з урахуванням попередньої матриці (
A3
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p4;Запишемо вихідну матрицю
A4
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
××××
78
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
попередній опорний елементp4
поточний опорний елементa3
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa4
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
6
Ітерація 5Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A4
) з індексами
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Обчислимо наступну матрицю (
A5
) з урахуванням попередньої матриці (
A4
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p5;Запишемо вихідну матрицю
A5
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Як бачимо, невідомих елементів немає, отже, обчислення матриці
A5
вже завершено;
7
Визначник матриціdet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
Розмір5×5МетодМонтанте (алгоритм Барейса)