Калькулятор оберненої матриці 2×2

  Формула оберненої матриці 2×2

Нехай матриця A має рядки (a, b) і (c, d). Спочатку обчислимо її визначник det(A) = a·d − b·c. Якщо визначник нуль, оберненої матриці немає. Інакше

A⁻¹ = 1/(a·d − b·c) · [ d −b ; −c a ]

Словами: поміняйте місцями два елементи головної діагоналі, змініть знак двох інших елементів і поділіть усе на визначник. Матриця з переставленими і змінними за знаком елементами — це приєднана матриця A, тож це загальна формула A⁻¹ = adj(A) / det(A) у найменшому випадку.

  Розібраний приклад

Візьмемо матрицю з рядками (4, 7) і (2, 6). Її визначник 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10, він не нуль, тож обернена існує.

Поміняємо місцями 4 і 6 та змінимо знак у 7 і 2. Отримаємо рядки (6, −7) і (−2, 4). Поділимо на 10: обернена матриця має рядки (3/5, −7/10) і (−1/5, 2/5).

Перевіримо множенням. Перший рядок A на перший стовпець оберненої: 4·(3/5) + 7·(−1/5) = 12/5 − 7/5 = 1, а перший рядок на другий стовпець: 4·(−7/10) + 7·(2/5) = −14/5 + 14/5 = 0. Другий рядок так само дає 0 і 1, отже добуток — одинична матриця.

  Коли матриця 2×2 не має оберненої

Формула ділить на a·d − b·c, тому вона не працює саме тоді, коли визначник дорівнює нулю. Це трапляється, коли один рядок кратний іншому, як у рядках (2, 4) і (1, 2). Така матриця називається виродженою, і система лінійних рівнянь із такою матрицею коефіцієнтів або не має розв’язків, або має їх нескінченно багато.

Калькулятор вище налаштований на 2×2. Він зберігає дроби точними замість округлення, тож 3/5 залишається 3/5, а також приймає комплексні числа і змінні.