x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Як розв'язати систему методом Гауса-Жордана
Створіть аугментовану матрицю, приєднуючи вектор констант до матриці коефіцієнтів. Застосуйте елементарні перетворення рядків для досягнення скорочено-ступінчастої форми (одиниці на діагоналі, нулі над і під кожним ведучим елементом). Стовпець констант тоді містить розв'язок безпосередньо.
Розв'язаний приклад методу Гауса-Жордана (4 рівняння)
Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
Щоб знайти корені системи лінійних рівнянь, використовуючи метод
Жордана-Гауса
, ми можемо перетворити матричну форму системи так, щоб ліва частина матриці стала одиничною, тоді з правої частини отримаємо корені системи;
2
Ітерація 1Отримаємо нулі в
1
стовпці;
Елемент із індексами
1,1
стає опорним;
Рядок із опорним елементом залишається без змін;
Всі інші елементи матриці знаходимо методом прямокутників відносно опорного елемента:
Занулюємо стовпець із опорним елементом:
1
0
0
0
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
5
a
0
2,2
=
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
2
*
1
- (
3
*
2
) =
-4
;
a
0
2,3
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
4
*
1
- (
3
*
1
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
3
*
-1
) =
7
;
a
0
2,5
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
16
*
1
- (
3
*
5
) =
1
;
a
0
3,2
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
4
*
1
- (
4
*
2
) =
-4
;
a
0
3,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
3
*
1
- (
4
*
1
) =
-1
;
a
0
3,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
4
*
-1
) =
8
;
a
0
3,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
22
15
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
22
*
1
- (
4
*
5
) =
2
;
a
0
4,2
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
2
*
2
) =
-4
;
a
0
4,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,3
) =
1
*
1
- (
2
*
1
) =
-1
;
a
0
4,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,4
) =
5
*
1
- (
2
*
-1
) =
7
;
a
0
4,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
15
=
a
0
4,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,5
) =
15
*
1
- (
2
*
5
) =
5
;
Приховати опис
3
Ітерація 2Поділимо
2
-й рядок на
-4
;
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
a
0
2,2
=
-4
-4
=
1
;
a
0
2,3
=
1
-4
=
-
1
4
;
a
0
2,4
=
7
-4
=
-1
3
4
;
a
0
2,5
=
1
-4
=
-
1
4
;
Приховати опис
Отримаємо нулі в
2
стовпці;
Елемент із індексами
2,2
стає опорним;
Рядок із опорним елементом залишається без змін;
Всі інші елементи матриці знаходимо методом прямокутників відносно опорного елемента:
Занулюємо стовпець із опорним елементом:
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
4
a
0
1,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
1
1
2
;
a
0
1,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
-1
*
1
- (
2
*
-1
3
4
) =
2
1
2
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
5
1
2
;
a
0
3,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
3,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
8
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
1
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
2
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
1
;
a
0
4,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,4
) =
7
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
0
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
4
;
Приховати опис
4
Ітерація 3Поділимо
3
-й рядок на
-2
;
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
a
0
3,3
=
-2
-2
=
1
;
a
0
3,4
=
1
-2
=
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
-2
=
-
1
2
;
Приховати опис
Отримаємо нулі в
3
стовпці;
Елемент із індексами
3,3
стає опорним;
Рядок із опорним елементом залишається без змін;
Всі інші елементи матриці знаходимо методом прямокутників відносно опорного елемента:
Занулюємо стовпець із опорним елементом:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
3
a
0
1,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
2
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
3
1
4
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
5
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
6
1
4
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-1
3
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-1
7
8
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-
3
8
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,4
) =
0
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
-1
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,5
) =
4
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
3
;
Приховати опис
5
Ітерація 4Поділимо
4
-й рядок на
-1
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
a
0
4,4
=
-1
-1
=
1
;
a
0
4,5
=
3
-1
=
-3
;
Приховати опис
Отримаємо нулі в
4
стовпці;
Елемент із індексами
4,4
стає опорним;
Рядок із опорним елементом залишається без змін;
Всі інші елементи матриці знаходимо методом прямокутників відносно опорного елемента:
Занулюємо стовпець із опорним елементом:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
16
-6
-2
-3
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
1,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
1,4
*
a
0
4,5
) =
6
1
4
*
1
- (
3
1
4
*
-3
) =
16
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
2,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
2,4
*
a
0
4,5
) =
-
3
8
*
1
- (
-1
7
8
*
-3
) =
-6
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-6
-
1
2
-3
=
a
0
3,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
3,4
*
a
0
4,5
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-3
) =
-2
;
Приховати опис
Answer
Ax = bx
0
1
=
16
;
x
0
2
=
-6
;
x
0
3
=
-2
;
x
0
4
=
-3
;
Розмір4×5МетодЖордана-Гауса