x1
+x1
+x1
+x1
+x2
+x2
+x2
+x2
+x3
+x3
+x3
+x3
+x4
=x4
=x4
=x4
=Формат чисел
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Як розв'язати систему методом Монтанте (Барейса)
Застосуйте елімінацію типу Барейса, яка зберігає цілі числа, до аугментованої матриці. Кожна операція розворота ділиться точно на попередній розворот, тому проміжні значення залишаються цілими числами протягом усього процесу. Прочитайте розв'язок з остаточної скороченої форми.
Розв'язаний приклад методу Монтанте (Барейса) (5 рівнянь)
Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
Щоб знайти корені системи лінійних рівнянь, використовуючи метод
Монтанте (алгоритм Барейса)
, ми можемо перетворити матричну форму системи так, щоб ліва частина матриці стала одиничною, тоді з правої частини отримаємо корені системи;
2
Ітерація 1A0
=
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
На першій ітерації попередній опорний елемент завжди дорівнює 1:
p0
=
1
;
Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A0
) з індексами
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
5
;
Обчислимо наступну матрицю (
A1
) з урахуванням попередньої матриці (
A0
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;Запишемо вихідну матрицю
A1
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A1
=
5
0
0
0
0
1
0
1
0
7
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
попередній опорний елементp1
поточний опорний елементa0
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa1
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5, 6}
A1
=
5
0
0
0
0
1
24
5
-1
5
0
5
20
5
0
1
-1
5
24
5
0
5
0
5
20
7
33
30
33
30
3
Ітерація 2Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A1
) з індексами
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
24
;
Обчислимо наступну матрицю (
A2
) з урахуванням попередньої матриці (
A1
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p2;Запишемо вихідну матрицю
A2
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
××××
5
××××
-1
××××
5
××××
33
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
попередній опорний елементp2
поточний опорний елементa1
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa2
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5, 6}
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
-1
5
91
25
-5
5
-1
25
115
25
-1
5
-5
25
91
27
33
111
165
111
4
Ітерація 3Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A2
) з індексами
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
91
;
Обчислимо наступну матрицю (
A3
) з урахуванням попередньої матриці (
A2
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p3;Запишемо вихідну матрицю
A3
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
××××
25
××××
-5
××××
111
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
попередній опорний елементp3
поточний опорний елементa2
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa3
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5, 6}
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
20
-9
25
410
100
-4
20
-5
100
344
107
102
111
510
444
5
Ітерація 4Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A3
) з індексами
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
410
;
Обчислимо наступну матрицю (
A4
) з урахуванням попередньої матриці (
A3
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p4;Запишемо вихідну матрицю
A4
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
××××
100
××××
510
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
попередній опорний елементp4
поточний опорний елементa3
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa4
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5, 6}
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
-40
100
-50
100
1440
370
510
360
510
1440
6
Ітерація 5Поточний опорний елемент дорівнює елементу попередньої матриці (
A4
) з індексами
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
1440
;
Обчислимо наступну матрицю (
A5
) з урахуванням попередньої матриці (
A4
);
1)
Рядок, в якому знаходиться опорний елемент, переписується в наступну матрицю без змін;2)
Заповнюємо нулями всі елементи стовпця, в якому знаходиться опорний елемент, крім самого опорного елемента;3)
Замінюємо усі попередні опорні елементи на p5;Запишемо вихідну матрицю
A5
і позначимо елементи, які потрібно знайти, як невідомі:
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
××××
1440
Для знаходження невідомих елементів використовуємо таку формулу:
a5
0
i,j
=
a4
0
i,j
*
p5
-
a4
0
5,j
*
a4
0
i,5
p4
p4
попередній опорний елементp5
поточний опорний елементa4
елемент попередньої матриці, обчисленої на попередній ітераціїa5
елемент наступної матриці, обрахований на поточній ітераціїi
номер рядкаj
номер стовпцяⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 4} × {6}
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
1440
1440
1440
1440
1440
7
Система лінійних рівняньПоділимо кожен ненульовий елемент матриці на
1440
;
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Answer
Ax = bx
0
1
=
1
;
x
0
2
=
1
;
x
0
3
=
1
;
x
0
4
=
1
;
x
0
5
=
1
;
Розмір5×6МетодМонтанте (алгоритм Барейса)