x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד לפתור מערכת בעזרת שיטת מטריצה הופכית
אם מטריצת המקדמים A הפיכה, למערכת Ax = b יש פתרון יחיד x = A⁻¹b. חשבו את ההופכי של A, אחר כך הכפילו בוקטור הקבועים b כדי לקבל את x. השיטה דורשת שA יהיה ריבועי ולא-סינגולרי.
דוגמה פתורה שיטת מטריצה הופכית (5 משוואות)
כתוב את מערכת המשוואות בצורה מטריצית:
2
1
0
1
0
1
3
1
0
2
0
1
4
2
1
1
0
2
5
0
0
2
1
1
3
4
7
8
10
6
A
=
2
1
0
1
0
1
3
1
0
2
0
1
4
2
1
1
0
2
5
0
0
2
1
1
3
B
=
4
7
8
10
6
יש לנו פורמט של משוואת מטריצה הבאה:
A
*
X
=
B
;
כדי למצוא את הפתרונות של המשוואה, אפשר להיפטר מהמטריצה
בצד שמאל של המשוואה;
כדי לעשות זאת, אפשר להכפיל את הצדדים הימני והשמאלי של המשוואה ב-
A
-1
0
משמאל;
אחרי זה נקבל את המשוואה הבאה:
A
-1
0
*
A
*
X
=
A
-1
0
*
B
;
אפשר לפשט את המשוואה הזאת;
כל מטריצה מוכפלת במטריצה ההפוכה שווה למטריצת יחידה;
כל מטריצה מוכפלת במטריצת יחידה שווה למטריצה המקורית;
בידיעה זאת יש לנו את הבא:
A
-1
0
*
A
*
X
=
A
-1
0
*
B
; =>
E
*
X
=
A
-1
0
*
B
; =>
X
=
A
-1
0
*
B
;
כדי למצוא את הפתרונות של המשוואה, נחשב את המטריצה ההפוכה של המטריצה
ונכפיל אותה במטריצה
משמאל;
2
הופכי של מטריצה A⁻¹A
-1
0
=
1
1
35
-
47
70
19
70
-
27
70
5
14
-
27
35
1
9
70
-
23
70
29
70
-
9
14
1
5
-
1
5
2
5
-
1
5
0
-
2
7
3
14
-
3
14
5
14
-
1
14
19
35
-
53
70
11
70
-
23
70
11
14
3
X = A⁻¹ * BX
=
A
-1
0
·
B
=
1
1
35
-
47
70
19
70
-
27
70
5
14
-
27
35
1
9
70
-
23
70
29
70
-
9
14
1
5
-
1
5
2
5
-
1
5
0
-
2
7
3
14
-
3
14
5
14
-
1
14
19
35
-
53
70
11
70
-
23
70
11
14
·
4
7
8
10
6
=
5
7
1
3
14
11
14
1
5
14
13
14
x
0
1,1
=
a
-1
0
0
1,1
·
b
0
1,1
+
a
-1
0
0
1,2
·
b
0
2,1
+
a
-1
0
0
1,3
·
b
0
3,1
+
a
-1
0
0
1,4
·
b
0
4,1
+
a
-1
0
0
1,5
·
b
0
5,1
=
1
1
35
*
4
+
-
27
35
*
7
+
1
5
*
8
+
-
2
7
*
10
+
19
35
*
6
=
5
7
;
x
0
2,1
=
a
-1
0
0
2,1
·
b
0
1,1
+
a
-1
0
0
2,2
·
b
0
2,1
+
a
-1
0
0
2,3
·
b
0
3,1
+
a
-1
0
0
2,4
·
b
0
4,1
+
a
-1
0
0
2,5
·
b
0
5,1
=
-
47
70
*
4
+
1
9
70
*
7
+
-
1
5
*
8
+
3
14
*
10
+
-
53
70
*
6
=
1
3
14
;
x
0
3,1
=
a
-1
0
0
3,1
·
b
0
1,1
+
a
-1
0
0
3,2
·
b
0
2,1
+
a
-1
0
0
3,3
·
b
0
3,1
+
a
-1
0
0
3,4
·
b
0
4,1
+
a
-1
0
0
3,5
·
b
0
5,1
=
19
70
*
4
+
-
23
70
*
7
+
2
5
*
8
+
-
3
14
*
10
+
11
70
*
6
=
11
14
;
x
0
4,1
=
a
-1
0
0
4,1
·
b
0
1,1
+
a
-1
0
0
4,2
·
b
0
2,1
+
a
-1
0
0
4,3
·
b
0
3,1
+
a
-1
0
0
4,4
·
b
0
4,1
+
a
-1
0
0
4,5
·
b
0
5,1
=
-
27
70
*
4
+
29
70
*
7
+
-
1
5
*
8
+
5
14
*
10
+
-
23
70
*
6
=
1
5
14
;
x
0
5,1
=
a
-1
0
0
5,1
·
b
0
1,1
+
a
-1
0
0
5,2
·
b
0
2,1
+
a
-1
0
0
5,3
·
b
0
3,1
+
a
-1
0
0
5,4
·
b
0
4,1
+
a
-1
0
0
5,5
·
b
0
5,1
=
5
14
*
4
+
-
9
14
*
7
+
0
*
8
+
-
1
14
*
10
+
11
14
*
6
=
13
14
;
הסתר תיאור
5 איברים
Answer
Ax = bx
0
1
=
5
7
;
x
0
2
=
1
3
14
;
x
0
3
=
11
14
;
x
0
4
=
1
5
14
;
x
0
5
=
13
14
;
גודל5×6שיטהשיטת המטריצה ההופכית