x1
+x1
+x1
+x1
+x2
+x2
+x2
+x2
+x3
+x3
+x3
+x3
+x4
=x4
=x4
=x4
=תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד לפתור מערכת בעזרת שיטת מטריצה הופכית
אם מטריצת המקדמים A הפיכה, למערכת Ax = b יש פתרון יחיד x = A⁻¹b. חשבו את ההופכי של A, אחר כך הכפילו בוקטור הקבועים b כדי לקבל את x. השיטה דורשת שA יהיה ריבועי ולא-סינגולרי.
דוגמה פתורה שיטת מטריצה הופכית (5 משוואות)
כתוב את מערכת המשוואות בצורה מטריצית:
2
1
0
1
0
1
3
1
0
2
0
1
4
2
1
1
0
2
5
0
0
2
1
1
3
4
7
8
10
6
A
=
2
1
0
1
0
1
3
1
0
2
0
1
4
2
1
1
0
2
5
0
0
2
1
1
3
B
=
4
7
8
10
6
יש לנו פורמט של משוואת מטריצה הבאה:
A
*
X
=
B
;
כדי למצוא את הפתרונות של המשוואה, אפשר להיפטר מהמטריצה
בצד שמאל של המשוואה;
כדי לעשות זאת, אפשר להכפיל את הצדדים הימני והשמאלי של המשוואה ב-
A
-1
0
משמאל;
אחרי זה נקבל את המשוואה הבאה:
A
-1
0
*
A
*
X
=
A
-1
0
*
B
;
אפשר לפשט את המשוואה הזאת;
כל מטריצה מוכפלת במטריצה ההפוכה שווה למטריצת יחידה;
כל מטריצה מוכפלת במטריצת יחידה שווה למטריצה המקורית;
בידיעה זאת יש לנו את הבא:
A
-1
0
*
A
*
X
=
A
-1
0
*
B
; =>
E
*
X
=
A
-1
0
*
B
; =>
X
=
A
-1
0
*
B
;
כדי למצוא את הפתרונות של המשוואה, נחשב את המטריצה ההפוכה של המטריצה
ונכפיל אותה במטריצה
משמאל;
2
הופכי של מטריצה A⁻¹A
-1
0
=
1
3
100
-
67
100
27
100
-
39
100
9
25
-
77
100
1
13
100
-
33
100
41
100
-
16
25
1
5
-
1
5
2
5
-
1
5
0
-
29
100
21
100
-
21
100
9
25
-
7
100
27
50
-
19
25
4
25
-
33
100
79
100
3
X = A⁻¹ * BX
=
A
-1
0
·
B
=
1
3
100
-
67
100
27
100
-
39
100
9
25
-
77
100
1
13
100
-
33
100
41
100
-
16
25
1
5
-
1
5
2
5
-
1
5
0
-
29
100
21
100
-
21
100
9
25
-
7
100
27
50
-
19
25
4
25
-
33
100
79
100
·
4
7
8
10
6
=
71
100
1
21
100
79
100
1
9
25
93
100
Answer
Ax = bx
0
1
=
71
100
;
x
0
2
=
1
21
100
;
x
0
3
=
79
100
;
x
0
4
=
1
9
25
;
x
0
5
=
93
100
;
גודל5×6שיטהשיטת המטריצה ההופכית