x1
+x1
+x1
+x1
+x2
+x2
+x2
+x2
+x3
+x3
+x3
+x3
+x4
=x4
=x4
=x4
=תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד לפתור מערכת בעזרת שיטת מונטנט (בארייס)
בצעו אלימינציה שומרת-שלם בסגנון בארייס על המטריצה המוגברת. כל פעולת פיבוט מחלקת בדיוק בפיבוט הקודם, כך שערכים ביניים נשארים שלמים לאורך כל התהליך. קרא את הפתרון מהצורה המוקטנת הסופית.
דוגמה פתורה מונטנט (בארייס) (5 משוואות)
כתוב את מערכת המשוואות בצורה מטריצית:
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
כדי למצוא את הפתרונות של מערכת של משוואות לינאריות, בעזרת השיטה של
מונטנט (אלגוריתם Bareiss)
, אפשר לבצע טרנספורמציה על הצורה המטריצית של המערכת כך שהצד השמאלי של המטריצה יהפוך למטריצת יחידה, ואז בצד ימין נקבל את הפתרונות של המערכת;
2
איטרציה 1A0
=
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
באיטרציה הראשונה, איבר הפיבוט הקודם תמיד שווה ל-1:
p0
=
1
;
איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A0
) עם אינדקסים
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
5
;
חשב את המטריצה הבאה (
A1
) על סמך המטריצה הקודמת (
A0
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;רשום את המטריצה הראשונית
A1
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A1
=
5
0
0
0
0
1
0
1
0
7
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
הוא איבר הפיבוט הקודםp1
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa0
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa1
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5, 6}
A1
=
5
0
0
0
0
1
24
5
-1
5
0
5
20
5
0
1
-1
5
24
5
0
5
0
5
20
7
33
30
33
30
3
איטרציה 2איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A1
) עם אינדקסים
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
24
;
חשב את המטריצה הבאה (
A2
) על סמך המטריצה הקודמת (
A1
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p2;רשום את המטריצה הראשונית
A2
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
××××
5
××××
-1
××××
5
××××
33
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
הוא איבר הפיבוט הקודםp2
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa1
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa2
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5, 6}
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
-1
5
91
25
-5
5
-1
25
115
25
-1
5
-5
25
91
27
33
111
165
111
4
איטרציה 3איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A2
) עם אינדקסים
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
91
;
חשב את המטריצה הבאה (
A3
) על סמך המטריצה הקודמת (
A2
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p3;רשום את המטריצה הראשונית
A3
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
××××
25
××××
-5
××××
111
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
הוא איבר הפיבוט הקודםp3
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa2
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa3
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5, 6}
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
20
-9
25
410
100
-4
20
-5
100
344
107
102
111
510
444
5
איטרציה 4איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A3
) עם אינדקסים
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
410
;
חשב את המטריצה הבאה (
A4
) על סמך המטריצה הקודמת (
A3
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p4;רשום את המטריצה הראשונית
A4
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
××××
100
××××
510
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
הוא איבר הפיבוט הקודםp4
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa3
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa4
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5, 6}
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
-40
100
-50
100
1440
370
510
360
510
1440
6
איטרציה 5איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A4
) עם אינדקסים
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
1440
;
חשב את המטריצה הבאה (
A5
) על סמך המטריצה הקודמת (
A4
);
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-p5;רשום את המטריצה הראשונית
A5
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
××××
1440
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a5
0
i,j
=
a4
0
i,j
*
p5
-
a4
0
5,j
*
a4
0
i,5
p4
p4
הוא איבר הפיבוט הקודםp5
הוא איבר הפיבוט הנוכחיa4
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמתa5
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחיתi
הוא מספר השורהj
הוא מספר העמודהⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 4} × {6}
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
1440
1440
1440
1440
1440
7
מערכת משוואות לינאריותחלק כל איבר שונה מאפס של המטריצה ב-
1440
;
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Answer
Ax = bx
0
1
=
1
;
x
0
2
=
1
;
x
0
3
=
1
;
x
0
4
=
1
;
x
0
5
=
1
;
גודל5×6שיטהמונטנט (אלגוריתם Bareiss)