Калькулятор оберненої матриці 3×3

  Два способи обернути матрицю 3×3

Матриця 3×3 має обернену саме тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Є два стандартні способи її знайти.

Метод приєднаної матриці використовує формулу A⁻¹ = adj(A) / det(A). Обчислюємо дев’ять алгебраїчних доповнень, кожне — визначник 2×2 зі знаком, складаємо з них матрицю, транспонуємо її, щоб отримати приєднану, і ділимо на визначник.

Метод Гаусса–Жордана дописує одиничну матрицю праворуч від A і застосовує елементарні перетворення рядків до всього блоку 3×6, доки ліва половина не стане одиничною. Права половина тоді є оберненою матрицею. Саме цей метод калькулятор використовує за замовчуванням.

  Розібраний приклад методом приєднаної матриці

Візьмемо матрицю з рядками (1, 2, 3), (0, 1, 4) та (5, 6, 0).

Визначник, розклад за першим рядком: 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = −24 + 40 − 15 = 1.

Алгебраїчні доповнення першого рядка: C₁₁ = 1·0 − 4·6 = −24, C₁₂ = −(0·0 − 4·5) = 20, C₁₃ = 0·6 − 1·5 = −5. Решту шість знаходимо так само: C₂₁ = 18, C₂₂ = −15, C₂₃ = 4, C₃₁ = 5, C₃₂ = −4, C₃₃ = 1.

Транспонування матриці доповнень ставить доповнення кожного рядка у стовпець. Оскільки визначник дорівнює 1, приєднана матриця вже є оберненою: її рядки (−24, 18, 5), (20, −15, −4) та (−5, 4, 1).

Перевіримо один елемент: перший рядок A на перший стовпець оберненої дає 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = 1, як і має бути.

  Який метод обрати

Вручну метод приєднаної матриці легше тримати впорядкованим для однієї матриці 3×3 з малими цілими числами, і це єдиний практичний вибір, коли елементи — змінні. Метод Гаусса–Жордана потребує менше арифметики і масштабується на матриці 4×4 і більші.

Калькулятор вище налаштований на 3×3. Оберіть будь-який метод у меню і порівняйте кроки на власній матриці.