Калькулятор визначника 4×4

Розкладання по:
1
Коментарі рішення
Без опису (тільки відповідь)

a

b

c

d

x

y

z

AC

i

ab
x2
xn

Randomize

Формат чисел
3131313131351515151515≈52188552198585858586
Округлити до
Знаків після коми
10
=Розв'язати

  Як знайти визначник матриці 4×4

Короткої формули для визначника 4×4 немає. У повному записі він містить 24 добутки по чотири елементи, тому ніхто так не рахує. Є два практичні шляхи.

Розклад за рядком або стовпцем зводить задачу до чотирьох визначників 3×3, кожен помножений на свій елемент і знак із шахового візерунка + − + −. Кожен нуль в обраному рядку прибирає один визначник 3×3, тому завжди розкладайте за рядком чи стовпцем із найбільшою кількістю нулів.

Зведення до трикутного вигляду перетворює матрицю на верхню трикутну. Додавання до рядка кратного іншого рядка не змінює визначника, перестановка двох рядків змінює його знак, а визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів діагоналі. Для матриці 4×4 це зазвичай близько третини арифметики повного розкладу.

  Розібраний приклад зведенням до трикутного вигляду

Візьмемо матрицю з рядками (2, 1, 0, 1), (4, 3, 1, 2), (0, 2, 3, 1) та (2, 1, 1, 4).

Обнулимо перший стовпець. Рядок 2 мінус 2 рядки 1 дає (0, 1, 1, 0). Рядок 4 мінус рядок 1 дає (0, 0, 1, 3). Рядок 3 уже починається з нуля.

Обнулимо другий стовпець. Рядок 3 мінус 2 нових рядки 2 дає (0, 0, 1, 1). Потім третій стовпець: рядок 4 мінус рядок 3 дає (0, 0, 0, 2).

Матриця стала верхньою трикутною з діагоналлю 2, 1, 1, 2. Рядки не переставлялися, тому det(A) = 2·1·1·2 = 4.

  Перевірка відповіді

Обидва шляхи мають дати одне число, тому один слугує перевіркою для іншого. Калькулятор вище налаштований на 4×4 і за замовчуванням розкладає за рядком чи стовпцем, показуючи кожен мінор 3×3. Перемкніть метод на трикутний вигляд, щоб побачити зведення, або на алгоритм Барейса — виключення без дробів, яке зберігає цілочисельні матриці цілими.

  Визначник 4×4 розкладом за рядком

Запишемо вихідну матрицю
A
:
A
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
Щоб знайти визначник матриці
A
, потрібно зробити таке:
1)
Знайти мінори для кожного елемента 1 рядки матриці A;
2)
Помножити кожен елемент 1 рядки матриці A на відповідний йому мінор;
3)
Добуток елемента на його мінор потрібно брати зі знаком мінус або плюс, це залежить від індексів елемента:
якщо i + j дорівнює парному числу, то беремо плюс;
якщо i + j не парне число, беремо знак мінус;
4)
Додаємо всі добутки елемента на відповідний мінор із урахуванням правильно взятого знака;
det(
A
) =
n
j
= 1
(-1)
i+j
·
a
0
i,j
·
M
0
i,j
// де
i
номер рядка
j
номер стовпця
2
M1,1
M
0
1,1
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
1
3
0
4
1
2
0
2
1
=
-15
;
3
M1,2
M
0
1,2
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
4
1
2
0
2
1
=
2
;
4
M1,3
M
0
1,3
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
1
3
0
0
2
1
=
8
;
5
M1,4
M
0
1,4
=
1
2
0
1
2
1
3
0
0
4
1
2
3
0
2
1
=
2
0
1
1
3
0
4
1
2
=
1
;
6
Визначник матриці
det(
A
) =
(
1
*
1
*
-15
)
+
(
-1
*
2
*
2
)
+
(
1
*
0
*
8
)
+
(
-1
*
3
*
1
)
=
-22
;
Answer
det(A)
det(
A
) =
-22
;
Розмір4×4МетодРозклад за алгебраїчними доповненнями (Лаплас)

  Методи обчислення

  Калькулятори за розміром і методом

  Джерела

Google PlayApp Store